Question

2．如图所示，竖直平面内有一段粗糙的斜直轨道与光滑的圆形轨道相切，切点P与圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ=53°，圆形轨道的半径为R，圆轨道的最低点B固定在水平地面上，一质量为m的小物块从斜轨道上A点由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动，物块刚好能通过圆形轨道最高点C，已知物块与斜轨道间的动摩擦因数μ=0.5，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度为g=10m/s²，求：
（1）物块通过轨道最低点B时的速度大小；
（2）斜轨道上A点到P点的距离．

Answer 1

分析 （1）对物体在C点应用牛顿第二定律求得速度，然后在从B到C的运动过程应用机械能守恒即可求得在B点的速度；
（2）先求的摩擦力大小．然后再对A到C运动过程应用动能定理即可求解．

解答 解：（1）对物块通过轨道最高点C点应用牛顿第二定律有：$mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$；
物体从最低点B到最高点C运动过程中只有重力做功，故由机械能守恒定律可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+2mgR=\frac{5}{2}mgR$；
所以，${v}_{B}=\sqrt{5gR}=5\sqrt{2R}（m/s）$；
（2）物体在AP上受到的摩擦力f=μmgcos53°；
物体从A到C运动过程，只有重力和摩擦力做功，设斜轨道上A点到P点的距离为L，那么，由动能定理，可得：$mg（Lsin53°-Rcos53°-R）-fL=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}mgR$；
所以，$L=\frac{\frac{1}{2}R+R+Rcos53°}{sin53°-μcos53°}=\frac{21}{5}R$；
答：（1）物块通过轨道最低点B时的速度大小为$5\sqrt{2R}（m/s）$；
（2）斜轨道上A点到P点的距离为$\frac{21}{5}R$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．