Question

（2012?长宁区一模）跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由落下，身体笔直且与水面垂直．假设运动员的质量m=50kg，其体型可等效为一长度L=1.0m、直径d=0.30m的圆柱体，略去空气阻力．运动员落水后，水的等效阻力f作用于圆柱体的下端面，f的量值随落水深度Y变化的函数曲线如图所示． 该曲线可近似看作椭圆的一部分，该椭圆的长、短轴分别与坐标轴OY和Of重合．运动员入水后受到的浮力F=ρgV （V是排开水的体积）是随着入水深度线性增加的．已知椭圆的面积公式是S=πab，水的密度ρ=1.0×10³kg/m³，g取10m/s²．
试求：
（1）运动员刚入水时的速度；
（2）运动员在进入水面过程中克服浮力做的功；
（3）为了确保运动员的安全，水池中水的深度h至少应等于多少？

Answer 1

分析：（1）不计空气阻力，运动员从跳台自由落下做自由落体运动，由高度H，根据运动学公式求得运动员刚入水时的速度；
（2）浮力做功分为两个阶段，运动员进入水面为第一阶段，水的浮力线性增加，用浮力的平均值与位移求解涉及到浮力做功；第二阶段运动完全进入水中，浮力是恒力，由功的公式直接求功；
（3）第二个阶段：水的阻力做功为图中曲线与横轴所围的面积，求出阻力做功．对于整个过程，运用动能定理求解深度h．

解答：解：（1）运动员刚入水时的速度为：
  v=

2gH

=

2×10×10

=10

2

m/s
（2）浮力做功分为两个阶段，运动员进入水面为第一阶段，水的浮力线性增加，其做功为：
  WF1=-

0+ρgV

2

L=-

1

8

πρd2L2g
代入解得  W_F1=-353.25 J      
（3）设水深为h，第二阶段浮力是恒力，其所做的功WF2=-ρ

1

4

πd2Lg(h-L)
水的阻力做功为图中曲线与横轴所围的面积：Wf=-

1

4

π

5

2

mgh=-

5

8

πmgh
运动员的始、末状态的速度均为零，对整个过程应用动能定理：
  W_G+W_F1+W_F2+W_f=0 
又 W_G=mg（H+h）
联立得 mg(H+h)-

1

8

πρL2d2g-

1

4

πρLd2g(h-L)-

5

8

πmgh=0，
代入数据解得至少水深为  h=4.51m             
答：
（1）运动员刚入水时的速度为10

2

m；
（2）运动员在进入水面过程中克服浮力做的功为-353.25 J
（3）为了确保运动员的安全，水池中水的深度h至少应等于4.51m．

点评：本题考查运用物理知识分析实际问题的能力，关键要抓住图象的数学意义：面积等于阻力做功，根据功的公式和动能定理进行求解．