Question

如图，两块大金属板和沿竖直方向平行放置，相距为，两板间加有恒定电压，一表面涂有金属膜的乒乓球垂吊在两板之间，其质量为。轻推乒乓球，使之向其中一金属板运动，乒乓球与该板碰撞后返回，并与另一板碰撞，如此不断反复。假设乒乓球与两板的碰撞为非弹性碰撞，其恢复系数为，乒乓球与金属板接触的时间极短，并在这段时间内达到静电平衡。达到静电平衡时，乒乓球所带的电荷量与两极板间电势差的关系可表示为，其中为一常量。同时假设乒乓球半径远小于两金属板间距，乒乓球上的电荷不影响金属板上的电荷分布；连接乒乓球的绳子足够长，乒乓球的运动可近似为沿水平方向的直线运动；乒乓球第一次与金属板碰撞时的初动能可忽略，空气阻力可忽略。试求：

1．乒乓球运动过程中可能获得的最大动能；

2．经过足够长时间后，通过外电路的平均电流。

Answer 1

1．根据题意，乒乓球与金属板第一次碰撞前其动能和速度分别为

                                                                                                     （1）

                                                                                                       （2）

刚碰后，乒乓球带的电荷量

                                                                                                   （3）

其动能和速度分别为

                                                                                                     （4）

                                                                                                       （5）

此后在电场力作用下乒乓球向另一金属板加速运动。当它到达另一金属板，与金属板第二次碰撞前其动能为

                                                                                          （6）

注意到（3）、（4）式有

                                                                                               （7）

与金属板第二次碰撞前的速度为

                                                                                                （8）

第二次碰撞后的速度和动能分别

                                                                                                    （9）

                                                                                              （10）

由（9）、（10）式得

                                                                                               （11）

乒乓球与金属板第三次撞前动能为

                                                                                          （12）

由（3）、（7）（11）、（12）式得

                                                                                     （15）

乒乓球与金属板第三次碰撞前速度

                                                                                              （16）

乒乓球与金属板第三次碰撞后的速度和动能分别为

                                                                                                   （17）

                                                                                               （18）

乒乓球与金属板四次碰撞前的动能

                                                                                          （19）

由（3）、（15）、（18）、（19）式得

                                                                              （20）

乒乓球与金属板第四次碰撞前速度为

                                                                                               （21）

乒乓球与金属板第四次碰撞后的速度和动能分别为

                                                                                                    （22）

                                                                                               （23）

以此类推，可得乒乓球与金属板第次碰撞前、后的动能分别为

                                                                  （24）

                                                                 （25）

即

                                                                                  （26）

                                                                            （27）

对非弹性碰撞，，可由以上两式看出和均随碰撞次数单调递增。当时有

                                                                                       （28）

                                                                                      （29）

乒乓球运动过程中达到的最大动能应与金属板碰撞前的极限动能，即

                                                                            （30）

2．经过足够长时间后亦即时，乒乓球在某一次与金属板碰撞后和下一次碰撞前的速度分别为

                                                                     （31）

                                                                       （32）

此间时间间隔

                                                                                              （33）

因此可得，通过外电路的平均电流强度

                                                                                                       （34）

由（31）、（32）、（33）、（34）各式得

                                                                                   （35）

评分标准：（26）、（27）式或（28）、（29）式共8分，（30）式2分，（31）~（33）式各1分，（35）式2分。