Question

4．宇航员在某星球表面让一个小球以初速v₀做竖直上抛运动，经过时间t小球落到星球表面．
（1）求该星球表面附近的重力加速度g_星；
（2）已知该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M．
（3）要使物体不再落回星球表面，沿星球表面平抛出的速度至少应是多少？

Answer 1

分析 （1）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，结合平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度．
（2）根据万有引力等于重力求出星球的质量．
（3）万有引力恰好作为向心力，计算平抛出的速度大小．

解答 解：（1）由竖直上抛规律
t_上=$\frac{1}{2}$t 
g_星=$\frac{{v}_{0}}{{t}_{上}}$=$\frac{2{v}_{0}}{t}$  
（2）在星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力．
即：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{星}$，
由②③可得：M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$
（3）在星球表面物体的重力提供绕地球做匀速圆周运动的向心力
g_星g=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ 
平抛的速度至少为v=$\sqrt{{g}_{星}R}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$．
答：（1）该星球表面附近的重力加速度g_星为$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）已知该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M为$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$．
（3）要使物体不再落回星球表面，沿星球表面平抛出的速度至少应是$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力等于重力这一理论，并能灵活运用．