Question

【题目】一质量为，倾角为的斜面放置在光滑水平面上，另一质量为、半径为的均匀圆柱体沿斜面无滑动滚下，如图所示

（1）建立斜面和圆柱体的动力学方程，并指出圆柱体作纯滚动的运动学条件

（2）确定此力学系统的守匣量，并给出具体的表达式

（3）求解斜面的加速度，以及圆柱体质心相对于斜面的加速度

Answer 1

【答案】(1) 即,圆柱体作纯滚动的条件为 (2) (3) 解得斜面加速度和圆柱体质心的相对加速度分别为,

【解析】

选择地面为定参考系，动参考系在斜面上，如图所示．设斜面有向右的加速度，圆柱体质心有相对于斜面的加速度（设其方向沿斜面向下），以圆柱体质心为动点，斜面为动系，由加速度合成定理，而，故有．于是，得到，．

对斜面应用质心运动定理，有

． ①

对圆柱体质点，其运动微分方程为

，

．

考虑到，．于是，有

， ②

． ③

设圆柱体转动的角加速度为（设为逆时针转，根据动量矩定理，有

，即． ④

圆柱体作纯滚动的条件为． ⑤

（2）设斜面有向右的速度，圆柱体质心相对于斜面有向下的速度，如图所示，根据速度合成定理，有，而，故有．于是，得到，．

以斜面和圆柱体组成系统，该系统水平方向上不受外力，由系统水平方向上动量守恒，可得

．

两边对时间求导，并考虑到，，即得

． ⑥

（3）联立式①～⑥，解得斜面加速度和圆柱体质心的相对加速度分别为

，