Question

如图所示，在平面直角坐标系xoy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁场区域（图中未画出）；在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E．一电子源固定在x轴上的A点，A点坐标为（-L，0）．电子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子，电子恰好能通过y轴上的C点，电子经过磁场后速度沿y轴负方向（已知电子的质量为m，电荷量为e，不考虑电子的重力和电子之间的相互作用）．求：
（1）C点的坐标；
（2）电子经过C点时的速度大小；
（3）若电子经过C点的速度与y轴正方向成60°角，求圆形磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析：（1）粒子从A到C的过程中做类平抛运动，平行y轴方向做匀速直线运动，平行x方向做匀加速直线运动，根据分位移公式列式求解；
（2）对从A到C的过程运用动能定理列式求解即可；
（3）先根据洛伦兹力提供向心力列式求解半径，然后画出轨迹图，结合几何关系得到圆形磁场区域的半径，求解出最小面积．

解答：解：（1）从A到C的过程中，电子做类平抛运动，有：
L=

1

2

Ee

m

t2       ①
y=vt          ②
联立12式，可解得：
y=v

2mL eE

      ③
（2）设电子到达C点的速度大小为v_C，方向与y轴正方向的夹角为θ．
由动能定理，有：

1

2

m

v

2 C

-

1

2

mv2=eEL④
解得vC=

v2+ 2EeL m

（3）画轨迹如右图所示：
电子在磁场中做匀速圆周运动的半径：
r=

mvC

eB

=

2mv

eB

(或r=

m v2+ 2EeL m

eB

)
电子在磁场中偏转120°后垂直于X轴射出，由几何关系得圆形磁场区域的最小半径为：
Rmin=

PQ

2

=rsin60°
由56两式可得：
Rmin=

3 mv

eB

(或Rmin=

3

2

?

m v2+ 2eEL m

eB

)
圆形磁场区域的最小面积为：
Smin=

3πm2v2

e2B2

[或Smin=

3πm(mv2+2eEL)

4e2B2

]
答：（1）C点的坐标为（0，v

2mL eE

）；
（2）电子经过C点时的速度大小为

v2+ 2EeL m

；
（3）若电子经过C点的速度与y轴正方向成60°角，圆形磁场区域的最小面积为

3πm2v2

e2B2

．

点评：本题关键明确粒子的运动规律，先类似平抛运动，然后匀速圆周运动；然后根据类似平抛运动的分位移公式、动能定理、牛顿第二定律列式求解；同时要注意结合几何关系分析磁场区的最小面积．