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如图所示,在平面直角坐标系xoy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁场区域(图中未画出);在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场,电场强度大小为E.一电子源固定在x轴上的A点,A点坐标为(-L,0).电子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子,电子恰好能通过y轴上的C点,电子经过磁场后速度沿y轴负方向(已知电子的质量为m,电荷量为e,不考虑电子的重力和电子之间的相互作用).求:
(1)C点的坐标;
(2)电子经过C点时的速度大小;
(3)若电子经过C点的速度与y轴正方向成60°角,求圆形磁场区域的最小面积.
分析:(1)粒子从A到C的过程中做类平抛运动,平行y轴方向做匀速直线运动,平行x方向做匀加速直线运动,根据分位移公式列式求解;
(2)对从A到C的过程运用动能定理列式求解即可;
(3)先根据洛伦兹力提供向心力列式求解半径,然后画出轨迹图,结合几何关系得到圆形磁场区域的半径,求解出最小面积.
解答:解:(1)从A到C的过程中,电子做类平抛运动,有:
L=
1
2
Ee
m
t2
       ①
y=vt          ②
联立12式,可解得:
y=v
2mL
eE
      ③
(2)设电子到达C点的速度大小为vC,方向与y轴正方向的夹角为θ.
由动能定理,有:
1
2
m
v
2
C
-
1
2
mv2=eEL

解得vC=
v2+
2EeL
m

(3)画轨迹如右图所示:
电子在磁场中做匀速圆周运动的半径:
r=
mvC
eB
=
2mv
eB
(或r=
m
v2+
2EeL
m
eB
)

电子在磁场中偏转120°后垂直于X轴射出,由几何关系得圆形磁场区域的最小半径为:
Rmin=
PQ
2
=rsin60°

由56两式可得:
Rmin=
3
mv
eB
(或Rmin=
3
2
?
m
v2+
2eEL
m
eB
)

圆形磁场区域的最小面积为:
Smin=
m2v2
e2B2
[或Smin=
3πm(mv2+2eEL)
4e2B2
]

答:(1)C点的坐标为(0,v
2mL
eE
);
(2)电子经过C点时的速度大小为
v2+
2EeL
m

(3)若电子经过C点的速度与y轴正方向成60°角,圆形磁场区域的最小面积为
m2v2
e2B2
点评:本题关键明确粒子的运动规律,先类似平抛运动,然后匀速圆周运动;然后根据类似平抛运动的分位移公式、动能定理、牛顿第二定律列式求解;同时要注意结合几何关系分析磁场区的最小面积.
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(1)第二象限内电场强度的大小;
(2)电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角
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2mv0
qL
、方向垂直于纸面向外的矩形磁场区域,并最终从x轴上的N(4L,0)点与x轴正向成45°角离开第一象限,题中只有m、v0、q、L为已知量,求:
(1)匀强电场的电场强度e;
(2)粒子在第一象限内运动的时间;
(3)如果粒子离开M点后有机会进入的是垂直纸面向里的矩形磁场,磁感应强度大小仍然为B=
2mv0
qL
,粒子运动一段时间后仍然能从x轴上的N点与x轴正向成45°角离开第一象限,则该矩形区域的最小面积S.

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