Question

7．如图所示，一半径为R，位于竖直面内的绝缘光滑轨道上静止着两个相同的带电小球A和B（可视为质点），两球质量均为m，距离为R，用外力慢慢推左球A使其到达圆周最低点C．求此过程中外力所做的功．

Answer 1

分析 初态时，两球静止，由库仑定律和平衡条件求出kq²．外力缓慢推左球A使其到达圆周最低点C，如图所示，画出B球的受力图，由三角形相似法和库仑定律求出两球间的距离．再得到系统的电势能和重力势能的增加量，由功能关系求解外力做功．

解答 解：设小球带电量为q，由库仑定律知，两个相同的带电小球A和B之间的库仑力为：F=k$\frac{{q}^{2}}{{R}^{2}}$…①
由平衡条件得 tan30°=$\frac{F}{mg}$…②
联立解得 kq²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mgR²…③
外力缓慢推左球A使其到达圆周最低点C，如图所示，画出B球的受力图，设AB之间距离为L，由图中几何关系，利用相似三角形知识可得：
   $\frac{F′}{L}$=$\frac{mg}{R}$…④
又 F′=k$\frac{{q}^{2}}{{L}^{2}}$…⑤
联立③④⑤解得：L³=$\frac{\sqrt{3}}{3}{R}^{3}$，即L=$\frac{1}{\root{6}{3}}$R…⑥
外力缓慢推左球A前，系统的电势能 E_P=k$\frac{{q}^{2}}{R}$
外力缓慢推左球A使其到达圆周最低点C，系统的电势能 E_P′=k$\frac{{q}^{2}}{L}$
系统电势能增加△E_电=E_P′-E_P=k$\frac{{q}^{2}}{L}$-k$\frac{{q}^{2}}{R}$=kq²（$\frac{\root{6}{3}-1}{R}$）…⑦
设OB与竖直方向的夹角为θ，由余弦定理得：
   L²=2R²-2R²cosθ
解得 cosθ=$\frac{2{R}^{2}-{L}^{2}}{2{R}^{2}}$=$\frac{2-\frac{1}{\root{3}{3}}}{2}$=$\frac{2\root{3}{3}-1}{2\root{3}{3}}$
重力势能增加△E_P=mg（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2\root{3}{3}-1}{2\root{3}{3}}$）R…⑧
由功能关系可得，此过程中外力所做的功为
  W=△E_P′+△E_P=kq²（$\frac{\root{6}{3}-1}{R}$）+mg（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2\root{3}{3}-1}{2\root{3}{3}}$）R 
答：此过程中外力所做的功为kq²（$\frac{\root{6}{3}-1}{R}$）+mg（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2\root{3}{3}-1}{2\root{3}{3}}$）R．

点评 解决本题的关键要正确分析能量是如何转化的，由几何知识分析两球间的距离．要知道电势能表达式E_p=k$\frac{{q}^{2}}{{r}^{2}}$．