Question

如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连接发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0～3t₀时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）．

已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t₀时，刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、l、t₀、B为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）
（1）求电压U₀的大小．
（2）求t₀时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
（3）带电粒子在磁场中的运动时间．

Answer 1

分析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t₀时刻经极板边缘射入磁场，说明在电场中偏转距离为

l

2

，根据牛顿第二定律和位移公式求解偏转电压．
（2）t₀时刻进入两板间的带电粒子，两板间没有电场，带电粒子做匀速直线运动，求出粒子的初速度．在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求解半径．
（3）2t₀时刻进入两极板的带电粒子，在电场中偏转角度最小，进入磁场时速度与y轴的夹角最小，在磁场中做圆周运动时轨迹的圆心角最小，在磁场中运动时间最短．用同样的方法分析得到，t=0进入两极板的带电粒子在磁场中运动的时间最长．求出圆周运动的周期，根据轨迹的圆心角求出时间范围．

解答：解：（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t₀时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为

l

2

，则有     E=

U0

l

   Eq=ma    
  

l

2

=

1

2

at₀²
联立解得，两极板间偏转电压为U0=

ml2

qt02

．
（2）t₀时刻进入两极板的带电粒子，两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为v₀=

l

t0

设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有qvB=m

v02

R

联立解得，R=

ml

qBt0

（3）2t₀时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．带电粒子离开电场时沿y轴正方向的分速度为v_y=at₀，
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则
   tanα=

v0

vy

联立解得α=

π

4

，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为2α=

π

2

，所求最短时间为    tmin=

1

4

T．
带电粒子在磁场中运动的周期为T=

2πm

qB

，联立以上两式解得
   tmin=

πm

2qB

．
同理，t=0进入两极板的带电粒子在磁场中运动的时间最长为：tmax=

3πm

2qB

所以，带电粒子在磁场中的运动时间：

πm

2qB

≤t≤

3πm

2qB

．
答：
（1）电压U₀的大小为U0=

ml2

qt02

．
（2）t₀时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径R=

ml

qBt0

．
（3）带电粒子在磁场中的运动时间为

πm

2qB

≤t≤

3πm

2qB

．

点评：本题中第（3）求解的时间范围，分析时根据轨迹的圆心角等于速度的偏向角分析何时时间最小或最大．