Question

在一种新的“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球A和小球B，从距水平地面高度为ph（p＞1）和h的地方同时由静止释放，如题9图所示．球A的质量为m，球B的质量为3m．设所有碰撞都是弹性碰撞，重力加速度大小为g，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间．
（1）求球B第一次落地时球A的速度大小；
（2）若球B在第一次上升过程中就能与球A相碰，求p的取值范围；
（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，求p应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）A、B均做自由落体运动，求出B球的下降时间，便可得到A球的速度
（2）要想在上升阶段两球相碰，临界情况是B刚好反跳回到出发点时与A相碰，据此求出A球的最大高度
（3）要使球A第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，临界情况是A与B碰后，A球速度恰好等大反向，由弹性碰撞过程动量守恒可求得碰前v_B=3v_A，

解答：解：（1）AB 两球均做自由落体，在B落地过程中运动完全一致，设速度为v₀，由运动学公式得：

v

2 0

=2gh
故，

v

0

=

2gh

（2）要想在B上升阶段两球相碰，临界情况是B刚好反跳到出发点时与A相碰，两物体的v-t图象如右图；
阴影部分面积之和就是A的下落高度和B的反跳高度之和ph，故有ph=5h，故p=5
（3）要使球A第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，则临界条件是碰后A球速度恰好等大反向，两物体的v-t图象如下图，由弹性碰撞可得碰撞前后，动量守恒，规定向上为正方向，设碰后B球继续向上运动，则：
3mv_B-mv_A=3mv′_B+mv_A
由于是弹性碰撞，由碰撞前后能量守恒得：

1

2

×3

mv

2 B

+

1

2

×mv

2 A

=

1

2

×3

mv′

2 B

+

1

2

mv

2 A

解得：

v

2 B

=

v′

2 B

故必有v′_B=-v_B
联立以上可得：
v_A=3v_B

从图象可以看出阴影部分面积之和就是A的下落高度和B的反跳高度之和，故ph=3h，故p=3
答：（1）B第一次落地时球A的速度为

2gh

（2）若球B在第一次上升过程中就能与球A相碰，则1＜p＜5
（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，求p应满足1＜p＜3

点评：抓住碰撞前后动量守恒、能量守恒，巧妙利用图象，增强直观性，本题难度较大，对学生的思维有挑战