Question

16．如图所示，用两根长度都为L的细绳悬挂一个小球A，绳与水平方向的夹角为α．使球A垂直于纸面做摆角小于5°的摆动，当它经过平衡位置的瞬间，另一小球B从A球的正上方自由下落，若B球恰能击中A球，求B球下落的高度．

Answer 1

分析 首先根据题意找出该单摆的实际摆长，结合单摆的周期公式，写出该单摆的振动周期；再由自由落体运动写出B球下落到摆A的最低点所用的时间，通过两球相遇写出时间关系的通式，即可得知B求下落的高度．

解答 解：单摆的振动周期公式为：T=2π$\sqrt{\frac{l}{g}}$，
据题意有：l=Lsinα
所以A球振动的周期为：T=2π$\sqrt{\frac{Lsinα}{g}}$．
设球B自由下落的时间为t，则它击中A球下落的高度为：h=$\frac{1}{2}$gt²，
得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
球A经过平衡位置，接着返回到平衡位置的时间为半个周期，即为π$\sqrt{\frac{Lsinα}{g}}$．
B球能击中A球的时间应为A球做简谐振动的半周期的整数倍，即为：t=n•$\frac{T}{2}$
即为：nπ$\sqrt{\frac{Lsinα}{g}}$=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
则B球下落的高度为：h=$\frac{1}{2}$n²π²Lsinα，其中n=1，2，3…
答：B球下落的高度为$\frac{1}{2}$n²π²Lsinα，其中n=1，2，3…

点评 该题考察了关于单摆的周期的计算问题，学习中要注意各种的单摆模型，象该题，求解单摆的有效摆长是该题的关键，还有就是两球相遇时的时间之间的关系．同时要注意会分析当摆球在有加速度的电梯中的情况，还有当单摆带电，在匀强电场中或匀强磁场中运动时对单摆的周期的影响．