Question

4．随着现代科学技术的飞速发展，广寒宫中的嫦娥不再寂寞．未来航天飞机将作为往返于地球与月球之间的飞行器．若宇航员乘航天飞机对在距月球表面高h处的圆轨道上运行的月球卫星进行维修．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g_m，计算过程中可不计地球对月球卫星引力．
（1）维修卫星时，航天飞机的速度应为多大？
（2）已知地球自转周期为T₀，则该卫星每天可绕月球转几圈？

Answer 1

分析 （1）月球表面重力与万有引力相等，航天飞机处万有引力提供圆周运动向心力，据此求解；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力求得卫星的周期，再根据地球自转周期求得卫星每天可以绕月球转的圈数．

解答 （1）根据万有引力定律，在月球上的物体有：
$m{g_m}=\frac{GMm}{R^2}$…①
航天飞机维修月球卫星时应该与卫星在同一轨道上，速度应与卫星速度相同，卫星绕月球做圆周运动，设速度为v，则：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{v^2}{R+h}$…②
由①②两式解得：$v=\sqrt{\frac{{{g_m}{R^2}}}{R+h}}$
（2）设卫星运动周期为T，根据万有引力提供卫星圆周运动向心力有：
$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m（R+h）{（{\frac{2π}{T}}）^2}$
解得：$T=2π\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{GM}}=2π\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{{{g_m}{R^2}}}}$
则卫星每天绕月球运转的圈数为：$n=\frac{T_0}{T}=\frac{T_0}{2π}\sqrt{\frac{{{g_m}{R^2}}}{{{{（R+h）}^3}}}}$
答：（1）维修卫星时，航天飞机的速度应为$\sqrt{\frac{{g}_{m}{R}^{2}}{R+h}}$；
（2）已知地球自转周期为T₀，则该卫星每天可绕月球转$\frac{{T}_{0}}{2π}\sqrt{\frac{{g}_{m}{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$圈．

点评 星球表面重力与万有引力相等，万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力这两点是万有引力应用问题的常用思维着手点，学习中要注意把握．