Question

9．如图甲所示，直角坐标系中直线AB与横轴x夹角∠BAO=45°，AO长为a．假设在点A处有一粒子源可沿∠BAO所夹范围内的各个方向放射出质量为m、速度大小均为v、带电量为q的电子，电子重力忽略不计．在三角形ABO内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），当电子从顶点A沿AB方向射入磁场时，电子恰好从O点射出试求：

（1）从顶点A沿AB方向射入的电子在磁场中的运动时间t；
（2）磁场大小方向保持不变，改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于三角形ABO内的左侧，要使得电子从A点出发马上进入磁场且穿过有界磁场后都垂直y轴后向右运动，试求匀强磁场区域分布的最小面积；
（3）磁场大小方向保持不变，现改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于y轴与虚线之间，示意图见图乙所示，仍使放射出的电子最后都垂直穿过y轴后向右运动，试确定匀强磁场左侧边界虚线的曲线方程（不需要写范围）．

Answer 1

分析 （1）粒子做圆周运动，根据粒子在磁场中运动的半径公式和周期公式可以求得粒子的运动的时间；
（2）以AB方向发射的电子在磁场中的运动轨迹与AO中垂线交点的左侧圆弧，有界磁场的上边界：以A点正上方、距A点的距离为a的点为圆心，以a为半径的圆弧．
（3）根据所有的电子最后都垂直穿过y轴后向右运动，做出电子的运动的轨迹，根据几何关系可以求得左侧边界虚线的曲线方程．

解答 解：（1）根据题意，电子在磁场中的运动的轨道半径为：R=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$  
由qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$及T=$\frac{2πm}{qB}$
得：t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{\sqrt{2}πa}{4v}$ 
（2）电子在磁场中的运动的轨道半径R=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$ 有界磁场的上边界：以AB方向发射的电子在磁场中的运动轨迹与AO中垂线交点的左侧圆弧，圆弧所在圆的方程为：
（x+$\frac{a}{2}$）²+（y+$\frac{a}{2}$）²=R²   
有界磁场的下边界：设初速度与x轴夹角为θ的电子出磁场位置的坐标为 （x，y），则有：
x=-（a-Rsinθ），y=R-Rcosθ，
消去θ得：（x+a）²+（y-R）²=R²   
故最小磁场区域面积为上述两个圆相交部分，如图所示
所求面积为 S=2（$\frac{π{R}^{2}}{8}$-R²sin$\frac{45°}{2}$cos$\frac{45°}{2}$）=$\frac{（π-3）{a}^{2}}{6}$     
（3）设在坐标（x，y）的点进入磁场，如右图所示，由相似三角形得：
$\frac{y+b}{-x}=\frac{a-（-x）}{y}$   
圆的方程为：x²+（y+b）²=R²   
消去（y+b），代入R，得磁场边界的方程为：
y=-$\frac{\sqrt{2}x（a+x）}{\sqrt{a2-2x2}}$ 
答：（1）从顶点A沿AB方向射入的电子在磁场中的运动时间是$\frac{\sqrt{2}πa}{4v}$；
（2）匀强磁场区域分布的最小面积是$\frac{（π-3）{a}^{2}}{6}$；
（3）匀强磁场左侧边界虚线的曲线方程是y=-$\frac{\sqrt{2}x（a+x）}{\sqrt{a2-2x2}}$．

点评 本题考查带电粒子在匀强磁场中的运动，要掌握住半径公式、周期公式，画出粒子的运动轨迹后，几何关系就比较明显了．