Question

如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨道半径R为5m，MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A以某一初速度V₀从N点冲进轨道，到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生弹性碰撞，碰后A、B两球交换速度，B球水平飞出轨道，落地点距N点距离为10m；A球从最高点初速度为零沿原路返回，水平地面的动摩擦系数μ为0.5．重力加速度g取10m/s²，忽略圆管内径，空气阻力及圆管内部摩擦不计，求：
（1）B球从水平飞出轨道到落地的时间；
（2）小球A冲进轨道时初速度V₀的大小；
（3）A、B两球最终在水平面上的距离（设B球落地后不再运动）．

Answer 1

分析：（1）B球飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，下落的高度为h=2R，由h=

1

2

gt2求解平抛运动的时间．
（2）B球平抛运动的水平距离为S_B=10m，由S_B=v_Bt可求出B的初速度大小．由于碰撞过程交换速度，则知碰撞前A球的速度大小．小球A从最低点到最高点过程中，只有重力做功，其机械能守恒，即可求解球A冲进轨道时初速度v₀的大小．
（3）小球A从最高点滑到N点的过程，由机械能守恒定律求得滑到N点的速度大小．由动能定理求出A在水平面上滑行的距离，即可求出A、B两球最终在水平面上的距离．

解答：解：（1）B球飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有：
   2R=

1

2

gt²，解得t=2

R g

=

2

s
（2）设球A的质量为m，A碰B前速度大小为V_A，把球A冲进轨道最低点位置的重力势能定为0，由机械能守恒定律知
 

1

2

mV₀²=

1

2

mV_A²+mg?2R
B球飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，设B球速度为V_B，有S_B=V_Bt=V_At，得
  V_A=

gR

=5

2

m/s，
则：V₀=

5gR

=5

10

m/s
（3）A球再次经N点向右滑出，

1

2

mV_A2²=mg?2R，得速度为V_A2=

4gR

=10

2

m/s
A球在水平面滑行过程，由动能定理得
-μmgSA=0-

1

2

mV_A2²
解得SA=

VA22

2μg

=

2R

μ

=20m，
A向右运动碰撞原来静止的B球，则A、B两球速度交换，A停在原B球的位置不动，B球以A球的速度继续前进，最终静止．
则A、B间距为S_A-S_B=10m．
答：
（1）B球从水平飞出轨道到落地的时间是

2

s；
（2）小球A冲进轨道时初速度V₀的大小是5

10

m/s；
（3）A、B两球最终在水平面上的距离是10m．

点评：本题涉及多个过程，分析小球的运动过程，把握运动的规律是关键，实质是机械能守恒定律与平抛运动、动能定理等等知识的综合应用．