Question

19．如图所示，粗糙水平面AC与光滑的竖直半圆形孤在C点相接，导轨半径R=0.1m．一小球M放在离C点距离设为x的水平轨道B点处于静止状态，在B点的左侧完全相同的小球N以一定的速度向右运动，与放在B点的小球M碰后粘在一起并冲上半圆轨道．两小球完成半个圆周运动到达D点后飞出后落在水平地面上，落点到C点的距离设为d．若d与x的值满足函数关系d²=-0.16x+0.48．取g=10m/s²求：

（1）碰前小球N的速度和小球与水平地面间的动摩擦因数；
（2）碰后如果让两小球能够进入半圆轨道并且在沿轨道运动过程中不会脱离半圆轨道，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒得出小球在C点的速度与在D点的速度关系；根据平抛运动的规律求得平抛的初速度，根据动能定理求得两个小球碰撞后的速度；根据动量守恒定律求得碰撞前的速度．
（2）物体不会在M到N点的中间离开半圆轨道，即物体可以从M点飞出求出，或正好运动到与圆心等高处速度为零，分两种情况求解范围．

解答 解：（1）设两个小球的质量都是m，由C到D的过程中机械能守恒，得：
$\frac{1}{2}•2m{v}_{c}^{2}=2mg•2R+\frac{1}{2}•2m{v}_{D}^{2}$   ①
所以：${v}_{D}=\sqrt{{v}_{c}^{2}-4gR}=\sqrt{{v}_{c}^{2}-4×10×0.1}$=$\sqrt{{v}_{c}^{2}-4}$
小球离开D点后做平抛运动，则：$t=\sqrt{\frac{2×2R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×2×0.1}{10}}=0.2$s   ②
平抛运动的距离：d=v_Dt=$0.2\sqrt{{v}_{c}^{2}-4}$   ③
根据动能定理研究两个小球从B点到C点得：$\frac{1}{2}•2m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}_{C}^{2}=2μmgx$  ④
联立得：$d=0.2\sqrt{（{v}_{B}^{2}-2μgx）-4}$  
即：${d}^{2}=0.04{v}_{B}^{2}-0.08μgx-0.16$  ⑤
又：d²=-0.16x+0.48    ⑥
比较⑤⑥可得：μ=0.2，v_B=$2\sqrt{2}$m/s
N与M碰撞的过程中，水平方向的动量守恒，选取向右为正方向，则：
mv₀=2mv_B
所以：v₀=$4\sqrt{2}$m/s
（2）物体不会在C到D点的轨道上O点以上离开半圆轨道，即物体恰好从D点飞出，有：$2mg=\frac{2m{v}_{min}^{2}}{R}$  ⑦
所以：${v}_{min}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.1}=1$m/s
结合①可得：${v}_{cmin}=\sqrt{5}$m/s
代入④得x越大，则v_c越小，所以x的最大值：${x}_{max}=\frac{23}{16}$m
    若物体刚好至圆轨道最右侧减速为0，由动能定理得：
$-μmg{x}_{min}-mgR=0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入数据得：x_min=$\frac{15}{8}$m
综上可得：x≥$\frac{15}{8}$m或x≤$\frac{23}{16}$m
答：（1）碰前小球N的速度是$4\sqrt{2}$m/s，小球与水平地面间的动摩擦因数是0.2；
（2）碰后如果让两小球能够进入半圆轨道并且在沿轨道运动过程中不会脱离半圆轨道，x的取值范围为x≥$\frac{15}{8}$m或x≤$\frac{23}{16}$m．

点评 解题时要注意动量守恒定律、动能定理、平抛运动规律、牛顿第二定律的应用；要能正确分析各个物体的运动过程，选择合适的物理规律求解．