Question

在某平面上有一半径为R的圆形区域，区域内外均有垂直于该平面的匀强磁场，圆外磁场范围足够大，已知两部分磁场方向相反且磁感应强度都为B，方向如图所示．现在圆形区域的边界上的A点有一个带电量为+q，质量为m的带电粒子以垂直于磁场方向且沿半径向圆外的速度从该圆形边界射出，已知该粒子只受到磁场对它的作用力．

（1）若粒子从A点射出后，第二次经过磁场边界时恰好经过C点（AC是圆形区域的直径），求粒子的运动半径

（2）若粒子在其与圆心O的连线旋转一周时，恰好能回到A点，试求该粒子运动速度v的可能值．

（3）在粒子恰能回到A点的情况下，求该粒子回到A点所需的最短时间．

Answer 1

解：（1）根据轨迹图可得：粒子运动的半径r=R       (4分)

（2）粒子运动的半径为r

   得                  ① （2分）

如图，O₁为粒子运动的第一段圆弧AB的圆心，O­₂为粒子运动的第二段圆弧BC的圆心，根据几何关系可知：

                ②            （2分）

如果粒子回到A点，则必有

2   n取正整数     ③           （1分）

由①②③可得

                         （1分）

考虑到为锐角，即，根据③可得

                                   

故          （2分）

 （3）粒子做圆周运动的周期

                               （2分）

因为粒子每次在圆形区域外运动的时间和圆形区域内运动的时间互补为一个周期T，所以粒子穿越圆形边界的次数越少，所花时间就越短，因此取n=3

代入到③可得

                                  （2分）

粒子在圆形区域外运动的圆弧的圆心角为a

故所求的粒子回到A点的最短运动时间

                    （2分）