Question

20．如图所示，两个水平放置的带电平行金属板间，一长为l的绝缘细线一端固定在O点，另一端栓这一个质量为m、带有一定电量的小球，小球原来静止，当给小球某一冲量后，它可绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，若两板间电压增大为原来的4倍，求：
（1）要是小球从C点开始在竖直平面内做圆周运动，开始至少要给小球多大冲量？
（2）在运动过程中细线所受的最大拉力．

Answer 1

分析 （1）小球原来做匀速圆周运动，则有mg=qE；当电压增大到电压增大到原来的4倍，两极板间的电场强度变为E′=4E，在C点必须给C足够的速度，让其能在电场力和重力作用下做圆周运动，此时绳的拉力为0时，小球圆周运动的速度最小，由此可求C点的初速度；再由动量定理求冲量．
（2）由C到D小球做加速运动，速度一直增大，在D点速度最大，此时绳的拉力最大，由动能定理可得D点的速度，进而可得绳的最大拉力．

解答 解：（1）小球开始做匀速圆周运动，故有：mg=qE，
当电压增大到原来的4倍，故两极板间的电场强度变为：E′=4E，
在C点绳的拉力为0时，小球做圆周运动的速度最小：
 qE′-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{l}$，
解得：v_C=$\sqrt{3gl}$
根据动量定理得：I=mv_C=m$\sqrt{3gl}$．
（2）由C到D，依据动能定理可得：
 qE′•2l-mg•2l=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv_C²，
解得：v_D=$\sqrt{15gl}$
小球运动过程中细绳所受的最大拉力在D位置，此时绳的拉力和重力提供向心力，由牛顿第二定律可得：
  T+mg-qE′=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{l}$
解得：T=18mg．
答：
（1）要是小球从C点开始在竖直平面内做圆周运动，开始至少要给小球m$\sqrt{3gl}$的冲量．
（2）在运动过程中细线所受的最大拉力是18mg．

点评 该题不同于一般的绳杆模型问题，这里涉及的不是小球能不能到最高点的问题，而是小球一开始能不能做圆周运动的问题，电场变化后，若不给小球初速度，小球就会做匀加速直线运动．