Question

12．如图所示，一根长为L的绝缘轻绳的一端固定在O点，另一端连接着一个带正电的小球，小球可视为质点，其质量为m，电荷量为q．在O点正上方和正下方距O点L处，各固定一个绝缘弹性挡板A和B，两个挡板尺寸很小，均竖直放置．此装置处在一个竖直匀强电场中，电场强度的大小为E=mg/q，方向最初竖直向上．现将小球拉到O点右侧同一高度且距O点L处，给它一个竖直向上的初速度v₀=$\sqrt{2gL}$．此后小球在A、B之间的右侧区域竖直面内做圆周运动，并不时与A、B挡板碰撞，在小球与A、B挡板碰撞时，通过两挡板上安装的传感器和控制电路，控制电场方向在碰后瞬间反向，不计碰撞中的能量损失，重力加速度为g，求：
（1）小球与A、B挡板第一次碰前瞬间，绳中的拉力分别为多少？
（2）若轻绳可以承受的最大拉力为70mg，则在绳断之前，小球与B挡板碰撞了多少次？

Answer 1

分析 （1）小球受到的重力和电场力之和为零，故小球以v₀做匀速圆周运动．第一次碰后利用动能定理求的到达B点的速度，由牛顿第二定律求的拉力．
（2）在以后的碰撞过程中间的运动利用动能定理求的碰撞时的速度，利用牛顿第二定律求的拉力，即可判断

解答 解：（1）小球第一次与A碰之前，qE=mg且方向相反
做匀速圆周运动
所以小球与A板第一次碰前，速度为${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2gL}$
T_A1=$m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$=2mg
小球从与A板第一次碰后到B板第一次碰前的过程中
（qE+mg）2L=$\frac{1}{2}$mv_B1²-$\frac{1}{2}$mv₀²
v_B1=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+8gL}$=$\sqrt{10gL}$
小球与B板第一次碰前T_B1-qE-mg=m$\frac{{v}_{B1}^{2}}{L}$
得：T_B1=12mg
（2）小球从与板第一次碰后到与板第二次碰前，qE=mg且方向相反，做匀速圆周运动．所以球与A板第二次碰前${v}_{A2}^{\;}={v}_{B1}^{\;}=\sqrt{10gL}$所以此时细绳中拉力  ${T}_{A2}^{\;}=m\frac{{v}_{A2}^{2}}{L}$小球从与A板第二次碰后到与B板第二次碰前的过程中$（qE+mg）2L=\frac{1}{2}m{v}_{B2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A2}^{2}$
所以${v}_{B2}^{\;}=\sqrt{{v}_{A2}^{2}+8gL}=\sqrt{18gL}$
小球与板第二次碰前T_B2-qE-mg=$m\frac{{v}_{B2}^{2}}{L}$
所以T_B2=20mg
综上分析可知，小球每次与A，B板碰前，绳中拉力比上一次碰前增加△T=8mg
则小球与B档板第n次碰面，绳中拉力T_Bn=T_B1+（n-1）△T=（8n+4）mg
若绳断，则T_Bn≥70mg
联立得：n≥8所以小球在绳断前与B挡板碰撞了8次．           

答：（1）小球与A、B挡板第一次碰前瞬间，绳中的拉力分别为2mg和12mg；
（2）若轻绳可以承受的最大拉力为50mg，则在绳断之前，小球与B挡板碰撞了8次．

点评 本题要注意电场力与重力做功的特点，二力做功均与路径无关，关键是抓住在小球向上运动时重力与电场力大小相等方向相反，电场力和重力做功之和为零，向下运动时重力和电场力做正功即可．