Question

一质量M=0.8 kg的中空的、粗细均匀的、足够长的绝缘细管，其内表面粗糙、外表面光滑；有一质量为m =0.2kg、电荷量为q= 0.1C的带正电滑块以水平向右的速度进入管内，如图甲所示。细管置于光滑的水平地面上，细管的空间能让滑块顺利地滑进去，示意图如图乙所示。运动过程中滑块的电荷量保持不变。空间中存在垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度为B=1.0 T。（取水平向右为正方向，g=10 m/s²）
（1）滑块以v₀=10m/s的初速度进入细管内，则系统最终产生的内能为多少？
（2）滑块最终的稳定速度v_t 取决于滑块进入细管时的初速度v₀，
①请讨论当v₀的取值范围在0至60m/s的情况下，滑块和细管分别作什么运动，并求出v_t 和v₀的函数关系？
②以滑块的初速度v₀横坐标、滑块最终稳定时的速度v_t为纵坐标，在丙图中画出滑块的v_t-v₀图像（只需作出v₀的取值范围在0至60m/s的图像）。

Answer 1

解：（1）小球刚进入管内时受到洛仑兹力为：N① 
依题意小球受洛仑兹力方向向上，，小球与管的下壁有弹力，
摩擦使球减速至最终与细管速度相同时，两者以共同速度v运动 
由动量守恒定律：② 
对系统：由能量守恒定律：③ 
由②③得：Q=8J
（2）
当滑块对管的上下壁均无压力时，滑块进入细管的速度满足：④
得：m/s　
当滑块初速小于m/s时，，滑块与管的下壁有弹力，并有摩擦力，
使滑块作匀减速直线运动，细管作匀加速直线运动，最终两者共速
对系统：依动量守恒定律：⑤
代入数据得： ⑥（m/s）
②当滑块初速20m/s≤v₀≤60m/s时，滑块与管的上壁有弹力，摩擦使滑块减速最终速度为m/s，
而细管作匀加速直线运动，加速到V' ⑧
当滑块以初速度为v₀'进入，若恰好v'=v_t=20m/s，则对系统依动量守恒定律有：
可得：>60m/s
当滑块以v₀=60m/s进入时，
∴细管不会离开地面。
可见：当滑块以初速度20m/s≤v₀≤60m/s进入细管时，细管最终不能加速到20m/s。