Question

如图所示，两根相同的平行金属直轨道竖直放置，上端用导线接一定值电阻，下端固定在水平绝缘底座上。底座中央固定一根弹簧，金属直杆ab通过金属滑环套在轨道上。在MNPQ之间分布着垂直轨道面向里的匀强磁场，现用力压杆使弹簧处于压缩状态，撤力后杆被弹起，脱离弹簧后进入磁场，穿过PQ后继续上升，然后再返回磁场，并能从边界MN穿出，此后不再进入磁场。杆ab与轨道的摩擦力大小恒等于杆重力的倍。已知杆向上运动时，刚穿过PQ时的速度是刚穿过MN时速度的一半，杆从PQ上升的最大高度（未超过轨道上端）是磁场高度的n倍；杆向下运动时，一进入磁场立即做匀速直线运动。除定值电阻外不计其它一切电阻，已知重力加速度为g。求：

（1）杆向上穿过PQ时的速度与返回PQ时的速度大小之比v₁：v₂；
（2）杆向上运动刚进入MN时的加速度大小a；
（3）杆向上、向下两次穿越磁场的过程中产生的电热之比Q₁：Q₂。

Answer 1

（1）；（2）；（3）

试题分析：（1）设杆从PQ上升的最大高度为h，上升过程中的加速度大小为，
则，；     （1分）
下降过程中的加速度大小，
则，；     （1分）
。       （2分）
（2）设杆质量为m，长度为l，定值电阻阻值为R。
杆刚进入MN时的速度为v₀，切割产生的电动势，回路中的电流，
ab杆受到的安培力大小为，方向竖直向下。①        （1分）
杆刚进入MN时，由牛顿第二定律，
得。②            （1分）
由题意，杆下落进入磁场做匀速运动，速度为v₂，
切割产生的电动势，
此时回路中的电流，
ab杆受到的安培力大小为，③     （1分）
这一过程中杆受力平衡，即，可得。  （1分）
由（1）问，且，可得。④
由①③④，可得，          （2分）
代入②中，可得。           （2分）
（3）设磁场高度为d，向上穿过磁场的过程中，由动能定理
⑤（1分）
杆过PQ后继续上升了nd，这一过程由动能定理
⑥              （1分）
由⑤⑥得，。         （1分）
杆下落过程中，。     （1分）
则。         （2分）