Question

8．如图所示，在直角坐标系的第一、二象限内有垂直于纸面的匀强磁场，第三象限有沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内无电场和磁场．质量为m、带电量为q的粒子从M点以速度v0沿x轴负方向进入电场，不计粒子的重力，粒子经N、P最后又回到M点．设OM=L，ON=2L，求：
（1）电场强度E的大小；
（2）匀强磁场磁感应强度B的大小和方向；
（3）求粒子全过程所用的时间．

Answer 1

分析 （1）分析带电粒子的运动情况：电子在电场中，受到竖直向上的电场力而做类平抛运动（或匀变速曲线运动）；根据粒子受力的方向与电场线方向的关系判断出粒子的电性；根据平抛运动的规律求出电场强度；
（2）根据匀变速直线运动的规律求出粒子在y方向的分速度，然后使用平行四边形定则求出带电粒子到达N点时的速度大小和方向；进入磁场做匀速圆周运动； 画出轨迹，根据图象中的几何关系求得圆周运动的半径；根据洛伦兹力提供向心力，写出动力学的方程，求得磁场的强度；
（3）粒子先在电场中做类平抛运动，然后在磁场中做圆周运动，离开磁场后做匀速直线运动，求出各段的运动时间，然后求出总的运动时间．磁场中根据轨迹的圆心角α，由t=$\frac{α}{2π}$求时间．由几何知识得到匀速直线运动的距离，即可求出匀速运动的时间．再根据几何知识求出磁场中运动的半径，求出T，即可求得总时间．

解答 解：（1）粒子从M至N运动过程粒子逆着电场线的方向发生偏转，
说明受力的方向与电场线的方向相反，所以粒子带负电．
粒子从M至N运动过程做类平抛运动，有：L=$\frac{1}{2}$at₁²…①
加速度：a=$\frac{qE}{m}$…②
运动时间：t₁=$\frac{2L}{{v}_{0}}$…③
由①②③得电场强度：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$…④
（2）到达N时：v_y=at₁
设v_N与x成θ角tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，所以：θ=45°
带电粒子到N点速度：v_N=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀…⑤
带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，由左手定则可得：粒子带负电荷．
圆心在O′处，设半径为R，由几何关系知带电粒子过P点的速度方向与x成45°角，
则OP=OM=L，则R=$\frac{3L}{\sqrt{2}}$…⑥
由牛顿第二定律得：qv_NB=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$…⑦
由⑥⑦解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{3qL}$，由左手定则可知，方向垂直于纸面向里；
（3）由图可知，粒子在磁场中运动的圆弧的圆心角为270°，
设运动的时间为t₂，则：t₂=$\frac{3}{4}$$\frac{2πR}{{v}_{N}}$=$\frac{9πL}{4{v}_{0}}$，
电子从P点到M点做匀速直线运动，设运动的时间为t₃：t₃=$\frac{\sqrt{2}OM}{{v}_{N}}$=$\frac{\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
故总时间为：t_总=t₁+t₂+t₃=$\frac{2L}{{v}_{0}}$+$\frac{9πL}{4{v}_{0}}$+$\frac{L}{{v}_{0}}$=（3+$\frac{9π}{4}$）$\frac{L}{{v}_{0}}$…⑧
答：（1）电场强度E的大小为：$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（2）匀强磁场的磁感应强B的大小为：$\frac{2m{v}_{0}}{3qL}$，方向：垂直于纸面向里；
（3）粒子从M点进入电场，经N、P点最后又回到M点所用的时间为：（3+$\frac{9π}{4}$）$\frac{L}{{v}_{0}}$．

点评 熟悉类平抛运动的处理方式，把平抛运动分解成相互垂直方向的匀速直线运动和初速度为0的匀加速直线运动，通过分运动的处理得到合运动的性质．画出轨迹，运用几何知识求出磁场中运动的半径，即可求出时间．