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【题目】如图甲所示,水平传送带以 50m/s 恒定的速率运转,两皮带轮之间的距 l=6m,皮带轮的半径大小可忽略不计。沿水平传送带的上表面建立 xOy 坐标系,坐标 原点 O 在传送带的最左端。半径为 R 的光滑圆轨道 ABC 的最低点 A 点与 C 点原来相连, 位于竖直平面内如图乙所示,现把它从最低点处切开,并使 C 端沿 y 轴负方向错开少 许,把它置于水平传送带的最右端, A 点位于 x 轴上且与传送带的最右端之间的距离可忽 略不计,轨道的 A C 两端均位于最低点, C 端与一水平直轨道平滑连接。 由于 A C 点间沿 y 轴方向错开的距离很小,可把 ABC 仍看作位于竖直平面内的圆轨道。将一质量m=1kg 的小物块 P可视为质点沿 x 轴轻放在传送带上某处,小物块随传送带运动到 A 点进入光滑圆轨道,恰好能够通过圆轨道的最高点B,并沿竖直圆轨道 ABC 做完整的圆周运动后由 C 点经水平直轨道滑出。已知小物块与传送带间的动摩擦因数 μ=05,圆轨道 的半径 R=05m,取重力加速度 g=10m/s2。求:

1物块通过圆轨道最低点 A 时对轨道压力的大小;

2轻放小物块位置的 x 坐标应满足什么条件,才能完成上述运动;

3传送带由电动机带动,其与轮子间无相对滑动,不计轮轴处的摩擦。若将小物 块轻放在传送带上 O 点,求将小物块从 O 点运送至 A 点过程中电动机多做的功。

【答案】160N;2x35m;325J

【解析】

试题分析:1设物块恰好通过圆轨道最高点B时的速率为vB,根据牛顿第二定律有:

解得:

设物块通过圆轨道最低点A的速率为vA,对于物块由A点运动至B点的过程,根据机械能守恒定律有:

mvA2=m vB2+2mgR

代入数据解得:vA=50m/s

设物块通过圆轨道最低点A时,轨道对物块的支持力为FN,根据牛顿第二定律有:

代入数据解得:FN=60N

据牛顿第三定律,物块通过圆轨道最低点A对轨道的压力为:F′N=FN=60N

2物块在传送带上的加速度为:a=μg=50m/s2

根据1可知物块运动至A点的速度满足vA=50m/s,

可使其恰好通过圆轨道最高点B传送带的速率为:v0=50m/s,

物块在传送带上加速运动的位移为:

故轻放小物块的位置坐标需满足:x≤l-x0=35m

3设为将小物块从O点运送到A点传送带电动机做的功为W,小物块加速运动时间为:

小物块加速运动的位移:x=at2=25m

根据功能关系有:W=mvA2+μmgv0t-x=25J

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