Question

如图，斜面、水平轨道和半径R=2.5m的竖直半圆组成光滑轨道，水平轨道与半圆的最低点相切，轨道固定在水平面上。一个质量为m=0.1kg的小球从水平地面上A点斜向上抛出，并在半圆轨道最高点D水平进入轨道，然后沿斜面向上，达到最大高度h=6.25m。(不计空气阻力，小球在经过斜面与水平轨道连接处时不计能量损失。（g取10m/s²) 求

（1）小球抛出时的速度（角度可用三角函数表示）
（2）小球抛出点A到D的水平距离
（3）小球运动到半圆轨道最低点时球对轨道的压力

Answer 1

（1）arctan2 （2）5m  (3) 11N

试题分析：（1）从D点到斜面最高点的过程中机械能守恒，则有
mv_D²+2mgR=mgh 解得：v_D==5m/s
设小球抛出时的速度为v₀，根据机械能守恒定律有：
mv₀²= mgh  代入数值解得：v₀=5m/s
小球从A到D的过程可以看做从D到A的逆过程， 小球抛出点A到D的水平距离为x，根据平抛运动规律有：
2R=    代入数值解得：x=5m
设小球抛出时速度方向与水平方向夹角为θ，根据平抛运动规律有：
tanθ=2=2 所以θ=arctan2
(2) 由（1）问知x=5m
(3) 根据机械能守恒定律知小球在最低点的速度为v₀=5m/s，由牛顿第二定律得：
N-mg=m，所以：N=11N
由牛顿第三定律可知，小球运动到半圆轨道最低点时球对轨道的压力大小为11N，方向竖直向下。