Question

15．如图所示，一质量为M的光滑小球静止在桌面边缘，桌面离水平地面的高度为h．质量为m的等大的小球以水平速度v₀通过一段L=$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8μg}$的距离后与小球M正碰（μ为小球m与桌面的动摩擦因数，g为重力加速度）．已知碰撞为完全弹性碰撞．求：
（1）碰撞前m球的速度大小；
（2）碰撞后m和M的速度大小；
（3）小球M落地点离桌面边缘的水平距离的范围．

Answer 1

分析 （1）小球在桌面上运动的过程中受到摩擦力的作用，由动能定理即可求出碰撞前的速度；
（2）碰撞后M做平抛运动，将运动分解成水平方向和竖直方向即可求出A抛出时的速度；M与m碰撞的过程中动量守恒，列出公式即可求出m的速度；
（3）根据动量守恒定律和两个物体之间的质量关系，结合平抛运动的特点分析即可．

解答 解：（1）设碰撞前m球的速度为v₁，由动能定理
-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
得：${v}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{0}$
（2）设碰撞后m、M的速度分别为v_m和v_M，根据动量守恒定律，则有：
mv₁=mv₂+Mv₃
根据机械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}$，
联立得：${v}_{2}=\frac{m-M}{2（m+M）}{v}_{0}$，${v}_{3}=\frac{m{v}_{0}}{m+M}$
（3）对它们的质量关系进行讨论：①当M＞＞m时，v₃≈0
②当m＞＞M时，v₃≈v₀
设物块下落所需时间为t，水平位移为s，则：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，s=v₃t，
联立得：s=${v}_{3}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
若v₃=0，则：s=0
若v₃≈v₀，则：s=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
综上所述，小球M的水平位移范围是：0＜s＜${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
答：（1）碰撞前m球的速度大小是$\frac{1}{2}{v}_{0}$；
（2）碰撞后m和M的速度大小分别是$\frac{m-M}{2（m+M）}{v}_{0}$和$\frac{m{v}_{0}}{m+M}$；
（3）小球M落地点离桌面边缘的水平距离的范围．

点评 该题涉及碰撞中的动量守恒、平抛运动和匀减速运动的三个过程，过程多，而情景都比较简单．属于中档题目．