Question

有一质量为m的航天器靠近地球表面绕地球作圆周运动（轨道半径等于地球半径），某时刻航天器启动发动机，在很短的时间内动能变为原来的

4

3

，此后轨道为椭圆，远地点与近地点距地心的距离之比是2：1，经过远地点和经过近地点的速度之比为1：2．己知地球半径为R，地球质量为M，万有引力恒量为G．
（1）求航天器靠近地球表面绕地球作圆周运动时的动能；
（2）在从近地点运动到远地点的过程中克服地球引力所做的功为多少？

Answer 1

分析：（1）航天器靠近地球表面绕地球做匀速圆周运动时重力提供向心力，求出速度，根据动能的公式即可求解动能；
（2）先求出喷气后航天器在近地点的动能，根据经过远地点和经过近地点的速度之比为1：2，求出航天器在远日点的动能，由动能定理即可求得克服地球引力做的功．

解答：解：
（1）航天器靠近地球表面绕地球运动时，万有引力提供向心力
G

Mm

R2

=m

v2

R

…①
由①得v2=

GM

R

故此时航天器动能Ek=

1

2

mv2=

GMm

2R

（2）根据题意知，航天器在近地点的动能
Ek近=

4

3

Ek=

2GMm

3R

又因为

Ek近

Ek远

=

v 2 近

v 2 远

=

4

1

所以远地点的动能Ek远=

1

4

Ek近=

GmM

6R

航天器从近地点向远地点运动的过程中只有地球引力做功，根据动能定理有：
W_引=E_k远-E_k远=

GmM

6E

-

2GMm

3R

=-

GmM

2R

所以克服地球引力所做的功为G

Mm

2R

答：（1）航天器靠近地球表面绕地球作圆周运动时的动能为

GMm

2R

；
（2）在从近地点运动到远地点的过程中克服地球引力所做的功为G

Mm

2R

．

点评：本题主要考查万有引力提供向心力公式及动能定理的直接应用，难度适中．