Question

3．中国首个月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A．计时表一只，B．弹簧秤一把，C．已知质量为m的物体一个，D．天平一只（附砝码一盒）．在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t．飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，科学家利用上述两次测量数据便可计算出月球的半径和质量．若已知万有引力常量为G，则：
（1）简述机器人是如何通过第二次测量物体在月球所受的重力F
（2）试利用测量数据（用符号表示）求月球的质量为$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$，半径为$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$．

Answer 1

分析 （1）机器人在月球上可以用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时秤出物体在月球所受的重力F．
（2）由F=mg_月，可求出月球表面的重力加速度g_月．在月球上忽略月球的自转，物体在月球上的重力近似等于月球的万有引力，列式得到月球质量、半径与重力加速度的关系；飞船在绕贴近月球运行时，其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供物体做圆周运动的向心力，列式得到月球质量、半径与周期的关系式，联立即可求解月球的半径和质量．

解答 解：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）在月球上忽略月球的自转可知：F=mg_月 ①G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg_月  ②
飞船在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供物体做圆周运动的向心力，
则有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R    ③T=$\frac{t}{N}$  ④
所以，由①、②、③、④式可知月球的半径：R=$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$，月球的质量：M=$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$；
答：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）月球的质量：$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}G{N}^{4}{m}^{3}}$；月球的半径：$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}m}$．

点评 忽略自转的情况下万有引力等于物体所受的重力，这是经常用的方法要注意掌握．对于天体运动，关键建立模型，根据万有引力提供向心力列式方程，求解有关物理量．