Question

19．如图所示，在xOy坐标系的第一、第四象限内分别存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E．一带电量为+q、质量为m的粒子，自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限．已知OP=d，OQ=2d．（不计粒子重力）
（1）求粒子过Q点时速度的大小和方向；
（2）若粒子以垂直y轴的方向进入第二象限，求磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，根据牛顿运动定律、类平抛运动的规律和运动的合成与分解进行解答．
（2）根据几何关系求得半径，再根据洛伦兹力充当向心力列式解答．

解答 解：（1）设粒子在电场中运动的时间为t₀，加速度的大小为a，粒子的初速度为v₀，过Q点时速度的大小为v，沿y轴方向分速度的大小为v_y，速度与x轴正方向间的夹角为θ，由牛顿第二定律得 qE=ma  ①
由运动学公式得
  d=$\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$     ②
 2d=v₀t₀      ③
粒子经过Q点时竖起分速度 v_y=at₀      ④
合速度 v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$          ⑤
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$            ⑥
联立①②③④⑤⑥式可得 v=2$\sqrt{\frac{qEd}{m}}$          ⑦
 θ=45°               ⑧；
（2）设粒子做圆周运动的半径为R，粒子在第一象限内的运动轨迹如图所示，O₁为圆心，由几何关系可知△O₁OQ为等腰直角三角形，得 R=2$\sqrt{2}$d         ⑨
由牛顿第二定律得 qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{R}$         ⑩
联立⑦⑨⑩式得   B₀=$\sqrt{\frac{mE}{2qd}}$⑪
答：
（1）粒子过Q点时速度的大小为2$\sqrt{\frac{qEd}{m}}$，方向与x轴正成45°向上；
（2）若粒子以垂直y轴的方向进入第二象限，磁感应强度B的大小为$\sqrt{\frac{mE}{2qd}}$．

点评 粒子现在电场中做类平抛运动，然后在磁场中做匀速圆周运动，画出运动轨迹图是关键，注意数学知识的应用．