Question

8．超导磁悬浮列车是利用超导体的抗磁作用使列车车体向上浮起，同时通过周期性地变换磁极方向而获得推进动力的新型交通工具．其推进原理可以简化为如图所示的模型：在水平面上相距L的两根平行直导轨间，有竖直方向等距离分布的匀强磁场B₁和B₂，且B₁=B₂=B，每个磁场的宽都是s，相间排列，所有这些磁场都以速度V向右匀速运动．这时跨在两导轨间的长为L、宽为s的金属框abcd（悬浮在导轨上方）在磁场力作用下也将会向右运动．设金属框中ad和bc电阻均为R，ab和cd的电阻忽略不计．运动中所受到的阻力恒为f，则金属框的最大速度为多少？

Answer 1

分析 当磁场以相同速度v向右匀速运动，金属框的最大速度为v_m时，线框左右两条边bc和ad都切割磁感线，产生两个感应电动势，线框相对于磁场的速度大小为v-v_m，方向向左，bc和ad产生的感应电动势大小都为BL（v-v_m），两边都磁场向前的安培力，安培力大小均为F=BIL．金属框匀速运动时，速度达到最大．推导出安培力表达式，由平衡条件求出金属框的最大速度．

解答 解：当金属框的最大速度为v_m时，线框相对于磁场的速度大小为v-v_m，方向向左，bc和ad产生的感应电动势大小都为：E=BL（v-v_m）
线框中感应电流大小为 I=$\frac{2E}{2R}$=$\frac{E}{R}$
由右手判断可知，感应电流方向为顺时针方向，由左手定则可知，bc和ad所受安培力方向均向右，安培力大小均为F=BIL，联立得到：
  F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（v-{v}_{m}）}{R}$
根据平衡条件得：2F=f
代入解得：v_m=v-$\frac{fR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
答：金属框的最大速度为v-$\frac{fR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题容易产生的错误往往有三个：一是认为线框切割速度是v_m，产生的感应电动势是BLv_m；二是线框认为只有一边切割磁感线；三是线框左右都受安培力，漏掉一边．