Question

15．如图所示，一根长L=0.5m的细绳悬于天花板上O点，绳的另一端挂一个质量为m=1kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为12.5N，小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大，绳断裂后，小球将平抛后掉在地上．（g=10m/s²）
（1）若小球做圆周运动的平面离地高为h=0.8m，则小球经多长时间落地．
（2）绳断裂时，小球的角速度为多少？
（3）在第（1）问中小球落点离悬点O在地面上的垂直投影的距离为多少？

Answer 1

分析 （1）绳子拉着小球做圆周运动，靠拉力和重力的合力提供向心力，通过平行四边形定则求出绳子与竖直方向的夹角，结合牛顿第二定律求出角速度的大小；
（2、3）根据高度求出平抛运动的时间，结合初速度求出水平位移，从而通过几何关系求出小球落点离悬点在地面上的垂直投影的距离．

解答 解：（1）根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}=0.4s$．
（2）根据牛顿第二定律得，mgtan37°=mLsinθω²
解得：$ω=\sqrt{\frac{gtanθ}{Lsinθ}}=5rad/s$
（3）小球平抛运动的水平位移x=vt=Lsinθωt=0.5×0.6×5×0.4m=0.6m．
由几何关系得，d=$\sqrt{{R}^{2}+{x}^{2}}=\frac{3}{10}\sqrt{5}m$．
答：（1）若小球做圆周运动的平面离地高为h=0.8m，则小球经0.4s落地．
（2）绳断裂时，小球的角速度为5rad/s；
（3）在第（1）问中小球落点离悬点O在地面上的垂直投影的距离为$\frac{3}{10}\sqrt{5}m$．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解