Question

5．A行星和B行星半径之比为2：3，各有一个卫星绕其运行，运行高度均等于各自行星的半径，已知两个卫星的周期之比为3：2，求行星A和行星B表面处的重力加速度大小之比为多少？

Answer 1

分析 研究卫星绕行星匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式．忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．联立可求解．

解答 解：研究任一情况：
对于卫星，卫星绕行星运行时，由万有引力充当向心力得（r=2R），得：$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
行星表面的物体m₀（忽略自转影响），由万有引力等于重力，得：$\frac{{GM{m_0}}}{R^2}={m_0}g$
联立得行星表面处的重力加速度为：g=$\frac{32{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
据题，A行星和B行星半径之比为 R_A：R_B=2：3，卫星的周期之比为 T_A：T_B=3：2，代入上式解得：所以A、B两行星表面处重力加速度之比为 g_A：g_B=8：27 
答：A、B两行星表面处重力加速度之比为8：27．

点评 求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．本题根据万有引力等于向心力和重力等于万有引力，进行列式是关键．