Question

10．为了研究过山车的原理，某研究小组设计了图示连续轨道．该轨道由竖直面内光滑弧形轨道、半径为R的竖直光滑圆轨道及粗糙水平轨道组成，距圆轨道最低点5R处有一竖直挡板．现将一可视为质点、质量为m的滑块从弧形轨道上高为h处由静止释放，滑块与挡板碰撞后以原速率反弹．已知滑块与右侧水平轨道之间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度为g．
（1）如果h=3R，求滑块第一次到达竖直圆轨道的最高点时对轨道的压力大小．
（2）研究小组希望滑块释放后能顺利通过竖直圆轨道又不会返回到左侧的弧形轨道，而且运动过程中滑块始终不脱离轨道，求滑块的释放高度h应该满足的条件和从满足条件的最高点释放后滑块停止时距轨道最低点的距离．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求出滑块第一次到达竖直圆轨道最高点时的速度，结合牛顿第二定律求出轨道对滑块的弹力，从而得出滑块对轨道的压力．
（2）通过最高点的临界情况，结合机械能守恒求出最小高度h，滑块与挡板碰撞后不再返回圆轨道左侧，且不脱轨，则滑块从水平轨道向左进入圆轨道后，在圆轨道内上升的最高点不超过圆心所在的高度，结合动能定理求出最大高度．
根据动能定理求出滑块停止时距轨道最低点的距离．

解答 解：（1）滑块滑到圆弧轨道最高点过程中：$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}+mg•2R$…①
滑块过最高点时，有：${F_N}+mg=m\frac{v^2}{R}$…②
解得：F_N=mg
由牛顿第三定律，滑块对轨道的压力大小为mg…③
（2）设滑块第一次通过竖直圆轨道的最高点时的速度大小为v，轨道的压力为F_N，则：${F_N}+mg=m\frac{v^2}{R}$…④
能过最高点的条件：F_N≥0…⑤
从释放到最高点过程中，有：$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}+mg•2R$…⑥．
解得：$h≥\frac{5}{2}R$…⑦
滑块与挡板碰撞后不再返回圆轨道左侧，且不脱轨，则滑块从水平轨道向左进入圆轨道后，在圆轨道内上升的最高点不超过圆心所在的高度，即   h'≤R…⑧
从释放到第一次向左运动进入圆轨道并到达最高点的过程：mgh=mgh'+2μmg×5R…⑨
解得：h≤6R…⑩
所以，所求的释放点高度满足2.5R≤h≤6R
滑块最终将停在粗糙的水平轨道上，从释放到最终停止运动，滑块在水平轨道所通过的总路程为x，则：
mgh=μmgx         
解得：x=12R            
所以，滑块将停在圆轨道最低点右侧距离：d=x-2×5R=2R     
答：（1）滑块第一次到达竖直圆轨道的最高点时对轨道的压力大小为mg；
（2）滑块的释放高度h应该满足的条件为2.5R≤h≤6R，从满足条件的最高点释放后滑块停止时距轨道最低点的距离为2R．

点评 本题考查了牛顿第二定律、机械能守恒、动能定理的综合运用，关键抓住临界状态：1、第一次能越过最高点，2、与挡板碰撞后不要越过四分之一圆周．