Question

3．如图所示，线圈焊接车间的传送带不停地传送边长为L，质量为4kg，电阻为5Ω的正方形单匝金属线圈，线圈与传送带之间的滑动摩擦系数μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．传送带总长8L，与水平面的夹角为θ=30°，始终以恒定速度2m/s匀速运动．在传送带的左端虚线位置将线圈无初速地放到传送带上，经过一段时间，线圈达到与传送带相同的速度，线圈运动到传送带右端掉入材料筐中（图中材料筐未画出）．已知当一个线圈刚好开始匀速运动时，下一个线圈恰好放到传送带上．线圈匀速运动时，相邻两个线圈的间隔为L．线圈运动到传送带中点开始以速度2m/s 通过一固定的匀强磁场，磁感应强度为5T、磁场方向垂直传送带向上，匀强磁场区域宽度与传送带相同，沿传送带运动方向的长度为3L．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）正方形线圈的边长L；
（2）每个线圈通过磁场区域产生的热量Q；
（3）在一个线圈通过磁场的过程，电动机对传送带做功的功率P．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律列式求解线框的加速度；根据运动学公式列式求解线框的相对位移；然后联立方程组求解；
（2）线框在进入和离开磁场时有感应电流，根据切割公式、欧姆定律、焦耳定律列式求解即可；
（3）某一导线框穿过磁场过程，皮带上有多个线圈，分析机械能增加量、内能增加量，然后求和．

解答 解：（1）每个线圈从投放到相对传送带静止，运动的距离是一样的．
设投放时间间隔为T，则v-t图如图所示．
在T时间内，传送带位移为x_传=v•T，
线圈加速过程位移为x_线=$\frac{v}{2}$•T
可得2L=v•T
其中v=a•T
线圈加速过程：
由f_滑-mgsinθ=ma
其中：f_滑=μmgcosθ
代入数据，可解得：a=2.5m/s；T=0.8s；L=0.8m
线圈匀速运动时，相邻两个线圈的间隔为L与线圈的边长相等，
由图可以看出线圈的边长与线圈加速过程走过的距离相同，所以线圈的边长为0.8m．
（2）每个线圈穿过磁场过程中有电流的运动距离为2L，
t_穿=$\frac{2L}{v}$；
感应电动势，E=BLv；   
由功率表达式，P=$\frac{{E}^{2}}{R}$
产生热量Q=P•t_穿=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R}$•$\frac{2L}{v}$=$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
解得Q=$\frac{2{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$=10.24J              
（3）在一个线圈通过磁场的过程：传送带运动距离4L，所用时间t_穿=$\frac{2L}{v}$=1.6s
一个线圈加速过程摩擦产生的热为Q_摩擦=f_滑•x_相对=μmgcosθ•$\frac{v}{2}$•T=24J
一个线圈加速过程获得动能△E_k=$\frac{1}{2}$mv²=8J
一个线圈通过磁场的过程中焦耳热Q_焦耳=10.24J
一个线圈运动一个L距离重力势能增加△E_p=Lmgsinθ=16J
在一个线圈通过磁场的过程中，电动机对传送带做功的功率P
有W=2Q_摩擦+2×△E_k+2Q_焦耳+15×△E_p=P•t_穿
代入以上各式，得P=202.8W           
解法二：
分析某一导线框穿过磁场过程知：t_穿=$\frac{2L}{v}$=1.6s，其中有t₁=$\frac{{t}_{穿}}{4}$=0.4s的时间传送带上有5个导线框，
其中1个相对滑动，4个相对静止，则该段时间内电动机做功为：W₁=F₁vt₁=（μmgcosθ+4mgsinθ+BIL）vt₁=93.12J
其中有t₂=$\frac{3{t}_{穿}}{4}$=1.2s的时间传送带上有4个导线框，其中1个相对滑动，3个相对静止，
则在该段时间内电动机做功为：W₂=F₂vt₂=（μmgcosθ+3mgsinθ+BIL）vt₂=231.36J
由P t_穿=W₁+W₂，得：P=202.8w
答：（1）正方形线圈的边长L为0.8m；
（2）每个线圈通过磁场区域产生的热量Q为10.24J；
（3）在一个线圈通过磁场的过程，电动机对传送带做功的功率P为202.8W．

点评 本题关键是明确传送带的运动规律，然后分过程按照牛顿第二定律、运动学公式、切割公式、欧姆定律、焦耳定律列式求解．