Question

如图（a）所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图（b）所示的方波形电压，t=0时A板比B板的电势高，电压的正向值为U₀，反向值也为U₀，现有由质量为m的带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向OO′的速度v0=

3 qU0T

3dm

射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响．
（1）求粒子打出电场时位置离O′点的距离范围
（2）求粒子飞出电场时的速度
（3）若要使打出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小直径和相应的磁感应强度是多大？

Answer 1

分析：（1）粒子在t=0、T、2T…时刻进入时，O′位置偏向最下端；粒子在t=

2

3

T、

2

3

T+T、

2

3

T+2T…时刻进入时，O′位置偏向最上端，根据运动学公式列式求解即可．
（2）将粒子的运动沿着平行于初速度方向和垂直于初速度的方向正交分解，在平行于初速度方向，粒子做匀速直线运动，在垂直于初速度方向，粒子在电场力的作用下做变速直线运动，求出两个方向上的分速度，最后得到合速度即可；
（3）要使粒子偏转后交于一点，只需磁场的半径等于粒子圆周运动的半径即可．

解答：解：（1）当粒子由t=nT时刻进入电场，向下侧移最大；
S₁=

qu0T

2dm

?(

2T

3

)2+

qu0

dm

?(

2T

3

)?

T

3

-

qu0

2dm

?(

T

3

)2=

7qu0T2

18dm

当粒子由t=nT+

2T

3

时刻进入电场，向上侧移最大；
S₂=

qu0

2dm

?(

T

3

)2=

qu0T2

18dm

在距离O′中点下方

7qu0T2

18dm

至上方

qu0T2

18dm

范围内有粒子打出．
（2）打出粒子的水平分速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小：v_y=

u0q

dm

?

T

3

=

u0qT

3dm

，
所以打出速度大小：v=

v 2 0 + v 2 y

=

( 3 u0qT 3dm )2+( u0qT 3dm )2

=

2u0qT

3dm

方向：tanθ=

vy

v0

=

3

3

，θ=30°
（3）要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等，粒子宽度D=

4qu0T2

9dm

?cos300=

2 3 qu0T2

9dm

，
粒子在磁场中作圆周运动有Bqv=m

v2

D 2

，解得：
B=

2 3 m

qT

，方向垂直纸面．
答：（1）在距离O′中点下方

7qu0T2

18dm

至上方

qu0T2

18dm

范围内有粒子打出；
（2）打出速度大小为

2u0qT

3dm

，方向与水平成θ=30°斜向下；
（3）磁场区域的最小直径为

2 3 qu0T2

9dm

，相应的磁感应强度是

2 3 m

qT

，方向垂直纸面．

点评：本题关键将粒子的运动沿着平行于初速度方向和垂直于初速度方向进行正交分解，然后根据运动学公式列式求解；第三问较难，关键是几何关系的理解．