Question

（2013?浙江模拟）如图所示，三个同心圆是磁场的理想边界，圆1半径R₁=R、圆2半径R₂=3R、圆3半径R₃（R₃＞R₂）大小未定，圆1内部区域磁感应强度为B，圆1与圆2之间的环形区域是无场区，圆2与圆3之间的环形区域磁感应强度也为B．两个区域磁场方向均垂直于纸面向里．t=0时一个质量为m，带电量为+q（q＞0）的离子（不计重力），从圆1上的A点沿半径方向以速度v=

3 qBR

m

飞进圆1内部磁场．问：
（1）离子经多长时间第一次飞出圆1？
（2）离子飞不出环形磁场圆3边界，则圆3半径R₃至少为多大？
（3）在满足了（2）小题的条件后，离子自A点射出后会在两个磁场不断地飞进飞出，从t=0开始到离子第二次回到A点，离子运动的总时间为多少？
（4）在同样满足了（2）小题的条件后，若环形磁场方向为垂直于纸面向外，其它条件不变，从t=0开始到离子第一次回到A点，离子运动的路径总长为多少？

Answer 1

分析：（1）根据洛伦兹力提供向心力求出粒子在磁场中运动的轨道半径，结合几何关系求出粒子在磁场中运动的圆心角，结合周期公式求出粒子飞出圆1经历的时间．
（2）作出粒子在磁场中运动的轨迹，根据粒子在磁场中运动的轨道半径，结合几何关系求出圆3半径R₃的最小值．
（3）作出粒子在磁场中运动的轨迹，通过粒子在圆2和圆3之间的运动圆弧对应的圆心角为240°，结合周期公式求出运动的时间，抓住离子第二次回到A点，离子在圆1内磁场中运动共6次．在无磁场区中直线运动共12次求出运动的总时间．
（4）作出粒子在磁场中运动的轨迹，从t=0开始到离子第一次回到A点，离子在圆1内磁场中运动共2次，离子在环形磁场中运动共2次，离子在无磁场区中直线运动共4次，结合几何关系求出离子运动的路径．

解答：解：（1）由qvB=m

v2

r1

得
r1=

3

R．
如右图1所示，根据几何关系得，粒子在图1中运动圆弧对应的圆心角为60°
解得t1=

60

360

?

2πm

qB

=

πm

3qB

．
（2）依题意离子在环形磁场轨迹与圆3相切时对应的就是半径最小值，如右图2所示．
由于两磁场的磁感应强度相同，有：r2=r1=

3

R．
由图中的几何关系得，

R22+r22

+r2=R3．
解得R3=3

3

R．
（3）根据几何关系，离子在圆2和圆3之间的运动圆弧对应的圆心角为240°．
解得t2=

240

360

?

2πm

qB

=

4πm

3qB

．
如下左图所示，（只画了重复单程，这样的单程重复总共需6次）
从t=0开始到离子第二次回到A点，离子在圆1内磁场中运动共6次．
离子在环形磁场中运动共6次，离子在无磁场区中直线运动共12次．
在无场区离子直线单程的时间t3=

2 3 m

3qB

．
总时间t=6t1+6t2+12t3=(10π+8

3

)

m

qB

．
（4）如下右图所示．（只画了重复单程，这样重复单程共需2次）
从t=0开始到离子第一次回到A点，离子在圆1内磁场中运动共2次；
离子在环形磁场中运动共2次，离子在无磁场区中直线运动共4次．
路径总长s=(

10 3 π

3

+8)R．
答：（1）离子经

πm

3qB

第一次飞出圆1．
（2）离子飞不出环形磁场圆3边界，则圆3半径R₃至少为R3=3

3

R．
（3）从t=0开始到离子第二次回到A点，离子运动的总时间为(10π+8

3

)

m

qB

．
（4）从t=0开始到离子第一次回到A点，离子运动的路径总长为(

10 3 π

3

+8)R．

点评：处理带电粒子在磁场中运动的问题，关键作出运动的轨迹，确定圆心和半径，结合几何关系进行求解．