Question

如图（a）所示，两水平放置的平行金属板C、D相距很近，上面分别开有小孔O、O′，水平放置的平行金属导轨与C、D接触良好，且导轨在磁感强度为B₁=10T的匀强磁场中，导轨间距L=0.50m，金属棒AB紧贴着导轨沿平行导轨方向在磁场中做往复运动．其速度图象如图（b）所示，若规定向右运动速度方向为正方向，从t=0时刻开始，由C板小孔O处连续不断以垂直于C板方向飘入质量为m=3.2×10^-21kg、电量q=1.6×10^-19C的带正电的粒子（设飘入速度很小，可视为零）．在D板外侧有以MN为边界的匀强磁场B₂=10T，MN与D相距d=10cm，B₁、B₂方向如图所示（粒子重力及其相互作用不计）．求：
（1）在0～4.0s时间内哪些时刻发射的粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN？
（2）粒子从边界MN射出来的位置之间最大的距离为多少？

Answer 1

分析：（1）粒子要飞出磁场边界MN，速度最小时，轨迹半径也最小，恰好与MN相切，可得到轨迹半径为d．根据粒子圆周运动的半径r=

mv

qB2

求出粒子进入磁场的速度，即为加速获得的末速度，再由动能定理求出加速电压U，由U=ε=B₁Lv 求出AB运动的速度，由乙图可求出所求的量．
（2）当AB棒速度最大，产生的感应电动势最大，CD板间电压最大，粒子经加速得到的速度最大，在磁场中轨迹半径也最大，粒子出MN边时，偏转距离最小，根据法拉第定律、动能定理和半径公式结合，并运用几何知识求得粒子从边界MN射出来的位置之间最大的距离．

解答：解：（1）由右手定则可判断AB向右运动时，C板电势高于D板电势，粒子被加速进入B₂磁场中，AB棒向右运动时产生的电动势E=B₁Lv（即为C、D间的电压）．粒子经过加速后获得的速度为v′，则有qE=

1

2

mv′²，粒子在磁场B₂中做匀速圆周运动，半径r=

mv′

qB2

．要使粒子恰好穿过，则有r=d．
?联立上述各式代入数据可得　v=5.0m/s．
?故要使粒子能穿过磁场边界MN则要求v＞5m/s．
?由速度图象可知，在0.25s＜t＜1.75s可满足要求．
?（2）当AB棒速度为v=5m/s时，粒子在磁场B₂中到达边界MN打在P点上，其轨道半径r=d=0.1m（此时

.

O′P′

=r=0.1m）如图所示．
    此时粒子向左的位移最大，出射点P与O’的水平距离为d=10cm．
 当AB棒速度最大，即v′=20m/s时产生感应电动势为：ε′=B₁Lv′=100V
 此时带电粒子经加速后速度为v，由动能定理有：q?′=

1

2

m

v

2 0

代入数据，解得：v=100m/s
此时带电粒子的轨迹半径为：R′=

mv0

qB2

=

3.2×10-21×100

1.6×10-19×10

=0.2m
出射点Q与O’的水平距离为：x=R′-

R′2-d2

=0.2-

0．22-0．12

=0.027m=2.7cm
粒子从边界MN射出来的位置间最大距离为S=d-x═10cm-2.7cm=7.3cm
答：（1）0到4.0s内0.25s＜t＜1.75s时刻从O处飘入的粒子能穿过电场并飞出磁场边界MN．
 （2）粒子从边界MN射出来的位置之间最大的距离为7.3cm

点评：本题是电磁感应与带电粒子在磁场中运动的综合，要注意挖掘临界条件，掌握电磁学基本知识和基本的分析思路，属于中档题．