Question

18．如图甲所示，有一粒子发射源置于真空中，该装置能够发射具有沿ABO方向的不同初速度的粒子，粒子质量为m，电量为q（q＞0），不计重力．A、B是两个阀门，A、B均不带电．阀门后面是一对平行板，板间距离为2d，上极板接地，下极板的电势随时间变化的关系如图所示．O处是一与轴线垂直的接收屏，以O为原点建立坐标系，不同速度的粒子打到屏上对应不同的坐标．其余尺寸如图甲所示，已知：$\frac{q{U}_{0}}{2md}$t²=$\frac{1}{5}$d，某时刻A开启，$\frac{t}{2}$后A关闭，又过$\frac{t}{2}$后 B开启，再过$\frac{t}{2}$后B也关闭，以B开启的时刻作为U-t函数图象中的计时零点，如图乙．

求：（1）能穿过A和B的粒子能具有的最大速度和最小速度
（2）上述两类粒子打到接收屏上的y坐标（用d来表示）

Answer 1

分析 （1）根据题意得出能穿过阀门B的最短时间和最长时间，再根据v=$\frac{x}{t}$求出最大速度和最小速度．
（2）据题，A、B间不加电压，粒子在AB间做匀速直线运动．粒子进入平行极板后做类平抛运动，将其运动进行正交分解，由水平方向的匀速运动规律求出粒子通过电场的时间，由牛顿第二定律和运动学公式彁求出粒子在电场中的偏转距离和偏转角度．粒子离开电场后做匀速直线运动，由数学知识求解此粒子打在y轴上的坐标位置y．

解答 解：（1）能穿过阀门B的最短时间为$\frac{t}{2}$，对应最大速度v_max=$\frac{l}{\frac{t}{2}}=\frac{2l}{t}$；①
能穿过阀门B的最长时间为$\frac{3}{2}$t，对应最小速度 v_min=$\frac{l}{\frac{3t}{2}}=\frac{2l}{3t}$． ②
（2）速度最大的粒子t=0时刻到达B孔，$\frac{1}{2}$t时刻进入偏转板，在板间运动时间$\frac{1}{2}$t，
此段时间内垂直板方向的加速度 a₁=$\frac{2q{U}_{0}}{2dm}$③
侧移y₁=$\frac{1}{2}$a₁（$\frac{1}{2}$t）² ④
由③④得y₁=$\frac{1}{20}$d　
设打在荧光屏上的坐标Y₁
$\frac{{Y}_{1}}{{y}_{1}}=\frac{\frac{1}{2}l+l}{\frac{1}{2}l}$　⑤
得：Y₁=$\frac{3}{20}$d　　　
速度最小的粒子$\frac{1}{2}$t时刻到B孔，2t时刻到偏转板，在偏转板中运动时间$\frac{3}{2}$t垂直板方向以a₁加速度加速运动t时间，再以a₂大小的加速度减速运动$\frac{1}{2}$t时间．
a₂=$\frac{q{U}_{0}}{2dm}$⑥
侧移　y₂=$\frac{1}{2}$a₁t²+（a₁t）×$\frac{t}{2}$-$\frac{1}{2}$a₂（$\frac{t}{2}$）²　　　　⑦
得：y₂=$\frac{3}{8}$d　　
飞出电场后的侧移　y₂′=（a₁t-a₂×$\frac{t}{2}$）×$\frac{3}{2}$t　　⑧
得：y₂′=$\frac{9}{20}$d　
打在荧光屏上的坐标Y₂=y₂+y₂′⑨
得：Y₂=$\frac{33}{40}$d
答：（1）能穿过阀门B的粒子的最大速度为$\frac{2l}{t}$，最小速度为$\frac{2l}{3t}$．
（2）上述两类粒子打到接收屏上的y坐标分别是$\frac{3}{20}$d和$\frac{33}{40}$d．

点评 本题带电粒子先偏转后匀速的类型，关键要分析粒子的运动情况，对类平抛运动会进行分解，结合几何知识进行求解，难度较大，属于难题．