Question

如图所示，质量M＝2kg的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m=1kg的小球通过长L=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴O连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕O轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v₀="4" m/s，g取10m/s²。

（1）若锁定滑块，试求小球通过最高点P时对轻杆的作用力大小和方向。
（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速度大小。
（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离。

Answer 1

（1）2N（2）2m/s（3）

（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为，在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则
 ①      
   ②
设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为F，方向向下，则      ③
由②③式，得    ④
由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为，方向竖直向上。
（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为，此时滑块的速度为V。在上升过程中，因系统在水平方向不受外力作用，水平方向的动量守恒。以水平向右的方向为正方向，有
      ⑤      
在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则
     ⑥
由⑤⑥式，得           ⑦
（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始位置点间的距离为，滑块向左移动的距离为，任意时刻小球的水平速度大小为，滑块的速度大小为。由系统水平方向的动量守恒，得         ⑧
将⑧式两边同乘以，得 ⑨
因⑨式对任意时刻附近的微小间隔都成立，累积相加后，有     ⑩
又      
由⑩式得