Question

15．用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示．

①测出悬点O到小球球心的距离（摆长）L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}L}{{t}^{2}}$（用L、n、t表示）
②用多组实验数据做出T²-L图象，也可以求出重力加速度g，已知三位同学做出的T²-L图线的示意图如图2中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值．则相对于图线b，下列分析正确的是B（选填选项前的字母）．
A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L
B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值
③某同学在家里测重力加速度．他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图3所示，由于家里只有一根量程为30cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长．实验中，当O、A间细线的长度分别为l₁和l₂时，测得相应单摆的周期为T₁、T₂．由此可得重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}（{l}_{1}-{l}_{2}）}{{T}_{1}^{2}-{T}_{2}^{2}}$（用l₁、l₂、T₁、T₂表示）．

Answer 1

分析 （1）单摆测定重力加速度的原理是：单摆的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$；应用单摆轴公式可以求出重力加速度；
（2）写出单摆周期，根据单摆的周期公式变形得出T²与L的关系式，再分析T²-L图象中g与斜率的关系，得到g的表达式．根据重力加速度的表达式，分析各图线与b之间的关系．
（3）分别求出当O、A间细线的长度分别为l₁、l₂时实际摆长，利用单摆周期公式列式，最后求出重力加速度．

解答 解：①单摆的周期：T=$\frac{t}{n}$，由单摆周期公式：T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$可知，重力加速度：g=$\frac{4{π}^{2}L}{{T}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}L}{{t}^{2}}$．
②根据单摆的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$得，T²=$\frac{4{π}^{2}L}{g}$，根据数学知识可知，T²-L图象的斜率k=$\frac{4{π}^{2}}{g}$，当地的重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}}{k}$．
A、若测量摆长时忘了加上摆球的半径，则摆长变成摆线的长度l，则有T²=$\frac{4{π}^{2}L}{g}$，根据数学知识可知，对T²-L图象来说，T²=$\frac{4{π}^{2}L}{g}$+$\frac{4{π}^{2}r}{g}$与b线T²=$\frac{4{π}^{2}L}{g}$斜率相等，两者应该平行，$\frac{4{π}^{2}r}{g}$是截距；故做出的T²-L图象中a线的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L．故A错误；
B、实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k偏小．故B正确；
C、由图可知，图线c对应的斜率k偏小，根据T²-L图象的斜率k=$\frac{4{π}^{2}}{g}$，当地的重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}}{k}$可知，g值大于图线b对应的g值．故C错误．
故选：B．
③摆线总长为l，当O、A间细线的长度为l₁时实际摆长变为l-l₁；由单摆周期公式$T=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$有：
${T}_{1}=2π\sqrt{\frac{l-{l}_{1}}{g}}$
当O、A间细线的长度为l₂时实际摆长变为l-l₂；由单摆周期公式$T=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$有：
${T}_{2}=2π\sqrt{\frac{l-{l}_{2}}{g}}$
解得：g=$\frac{4{π}^{2}（{l}_{1}-{l}_{2}）}{{T}_{1}^{2}-{T}_{2}^{2}}$
故答案为：①$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}L}{{t}^{2}}$；②B；③$\frac{4{π}^{2}（{l}_{1}-{l}_{2}）}{{T}_{1}^{2}-{T}_{2}^{2}}$

点评 简谐运动是一种理想的运动模型，单摆只有在摆角很小，空气阻力影响不计的情况下单摆的振动才可以看成简谐运动，要知道影响实验结论的因素．应用单摆周期公式可以解题；要掌握应用图象法处理实验数据的方法．