Question

20．如图所示，光滑圆弧轨道与光滑斜面在B点平滑连接，圆弧半径为R=0.4m，一半径很小、质量为m=0.2kg的小球从光滑斜面上A点由静止释放，g取10m/s²．求：
（1）若小球恰好通过圆弧轨道最高点D，小球运动到C点时对轨道的压力大小F_N；
（2）若斜面倾斜角与图中θ相等，均为53°，若小球从D点射出，均打在斜面上与O点等高的E点的上方，则释放点A的高度h应满足什么要求？

Answer 1

分析 （1）小球恰好能通过圆弧轨道最高点D，说明此时恰好由物体的重力作为向心力，由向心力的公式可以求得在D点的速度大小，从A到D的过程中，物体的机械能守恒，
由机械能守恒定律求出C点的速度．在C点时，对物体受力分析，重力和支持力的合力作为向心力，由向心力的公式可以求得小球受得支持力的大小，再由牛顿第三定律可以知道对轨道压力的大小．
（2）离开D点小球做平抛运动，根据水平方向的匀速直线运动，竖直方向上的自由落体运动可以求得小球运动的时间，根据水平位移求出D点的速度，再对全过程，运用动能定理求解．

解答 解：（1）小球恰好通过最高点D，则有 mg=$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
从C点到D点由动能定理（或机械能守恒定律）有：
-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
对C点，有：F_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得：F_C=mg+m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=6mg=12N
由牛顿第三定律得，C点对轨道的压力 F_N=F_C=12N
（2）设恰好撞到斜面上E点离B点的距离为s，飞行时间为t，由平抛运动规律可得
水平方向：s=v_Dt
竖直方向：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由几何关系易得：s=$\frac{R}{sinθ}$
解得 v_D=$\frac{5}{4}\sqrt{2}$m/s＜$\sqrt{gR}$=2m/s，所以小球不能打到E点，v_Dmin=$\sqrt{gR}$=2m/s
对物体由A到D动能定理有：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{Dmi}^{2}$-0
h=1m，所以A点的释放高度 h≥1m
答：
（1）若小球恰好通过圆弧轨道最高点D，小球运动到C点时对轨道的压力大小F_N是12N．
（2）A点的释放高度应满足：h≥1m．

点评 小球的运动过程可以分为三部分，第一段是匀加速直线运动，第二段的机械能守恒，第三段是平抛运动，分析清楚各部分的运动特点，采用相应的规律求解即可．