Question

5．如图所示的竖直直角坐标平面xoy内有两条过原点的射线OA和OB与x轴的正半轴和负半轴都成45°角，在x轴上方∠AOB区域间分布着方向垂直纸面向外大小为B₁的匀强磁场，在x轴的下方存在着方向垂直纸面向外大小为B₂=$\frac{mv}{qL}$匀强磁场，现有一质量为m，带电量为+q的带电粒子以速度v从位于直线OA上的P（L，L）点竖直向下射出，经过测量发现，此粒子每经过相同的时间T会回到P点，（不计粒子重力）
（1）求匀强磁场$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$之比；
（2）若保持B₂不变，而∠AOB间的磁场方向不变，现从P点向下发射两个速度在0～$\frac{v}{2}$围内（0＜v≤$\frac{v}{2}$）与原来相同的带电粒子（不计两个粒子间的相互作用力），它们进入∠AOB强磁场后都要经过P点，求∠AOB间的磁感应强度的B₁′的大小．
（3）在满足题（2）中的条件下，求从P点出发后又回到P点的最短时间为多少？

Answer 1

分析 （1）粒子从P点向下，运动过程的轨迹图画出来，根据对称性，在上下两磁场中匀速圆周运动的半径相等．
（2）画出粒子运动的轨迹，通过几何关系可知在上面磁场中圆周运动半径是下方磁场中圆周运动半径的2倍，粒子在下方磁场中运动半个周期，在上方磁场中运动四分之一圆周，再由半径公式得出磁感应强度之间的关系，从而求出上方磁场的磁感应强度．
（3）从P点以$\frac{v}{2}$向下运动的粒子回到P点所用时间最短，根据粒子做圆周运动的周期公式求出粒子在各阶段所以时间，然后求出总的最短时间．

解答 解：（1）由P点射出的粒子先做匀速直线运动进入匀强磁场B₂中，
设匀速圆周运动的半径为R₂，

由牛顿第二定律得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，解得：R₂=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$=L，
粒子每经过相同时间T会回到P点，必满足在匀强磁场B₁中半径R₁大小为L，
由牛顿第二定律得：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$解得：R₁=$\frac{mv}{q{B}_{1}}$=L，则：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=1；
（2）从P点向下发射速度为v_X满足范围为：0-$\frac{v}{2}$，
与原来相同的带电粒子，由于保持B₂不变，当速度v时半径为L，
则速度为0-$\frac{v}{2}$的粒子在B₂磁场中必定经过半个周期后在x轴正半轴间返回，
如图2所示，进入B₁′匀强磁场后都要经过P点，
则在B₁′磁场中运动的半径为B₂磁场中运动半径的两倍，
即：2$\frac{m{v}_{X}}{q{B}_{2}}$=$\frac{m{v}_{X}}{q{B}_{1}′}$，解得：$\frac{{B}_{1}′}{{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，即：B₁′=$\frac{{B}_{2}}{2}$=$\frac{mv}{2qL}$；
（3）从第二问分析可知，从P点以$\frac{v}{2}$向下运动的粒子回到P点所用时间最短，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
在B₁′的磁场中运动时间为：t₁=$\frac{πm}{2q{B}_{1}′}$=$\frac{πL}{v}$，
在B₂的磁场中运动时间为：t₂=$\frac{πm}{q{B}_{2}}$=$\frac{πL}{v}$，
在无场区运动中的时间为：t₃=$\frac{L}{v}$，
运动时间：t_总=t₁+t₂+t₃=$\frac{2πL}{v}$+$\frac{L}{v}$；
答：（1）匀强磁场$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$之比为1；
（2）∠AOB间的磁感应强度的B₁′的大小为$\frac{mv}{2qL}$．
（3）在从P点出发后又回到P点的最短时间为：$\frac{2πL}{v}$+$\frac{L}{v}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动问题，根据粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，依据几何特性作图时解题关键，分析清楚粒子运动过程应由牛顿第二定律与粒子做圆周运动的周期公式可以解题．