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在光滑水平上,放置一个质量为M、截面是(半径为R)的柱体A(如图)柱面光滑,顶端放一质量为m的小滑块B,初始时刻AB都处于静止状态.在固定坐标系中(xOy)如图所示,设小滑块从圆柱顶端沿圆弧滑下,证明小滑块脱离圆弧以前在固定坐标系xOy中的轨迹为椭圆的一部分.

 

答案:
解析:

要证明小滑块m在离开柱体以前的轨迹为椭圆的一部分,必须求出滑块m的坐标方程.小滑块向右滑动的同时柱体向左滑动,系统水平向上动量守恒.

设下滑到某处时B的坐标为(x,y),A的圆心C坐标为(x′,0).如图所示,A、B沿水平方向的速度分别是v′和v,则由水平方向的动量守恒可得

mv+Mv′=0                   ①

此时B、C的水平坐标分别为x和x′,由于两物体的水平速率之比在任何时刻都相同,所以其水平方向的位移之比等于速率之比,从而

mx+Mx′=0                   ②

在A脱离B之前,由几何关系可知

         ③

消去θ及x′,得B在脱离A之前的轨迹方程为

显然,B的轨迹是半长轴为R(在y方向)、半短轴为(在x方向)的椭圆的一部分.

 


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