（20分）惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的。负电荷中心与原子核重合。但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用。下面我们采用一种简化模型来研究此问题。
当负电中心与原子核不重合时，若以x表示负电中心相对正电荷（原子核）的位移，当x为正时，负电中心在正电荷的右侧，当x为负时，负电中心在正电荷的左侧，如图1所示。这时，原子核的正电荷对荷外负电荷的作用力f相当于一个劲度系数为k的弹簧的弹性力，即f=－kx，力的方向指向原子核，核外负电荷的质量全部集中在负电中心，此原子可用一弹簧振子来模拟。
今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，相距为R，原子核正电荷的电荷量为q，核外负电荷的质量为m。因原子间的静电相互作用，负电中心相对各自原子核的位移分别为x1和x2，且|x1|和|x2|都远小于R，如图2所示。此时每个原子的负电荷除受到自己核的正电荷作用外，还受到另一原子的正、负电荷的作用。
众所周知，孤立谐振子的能量E=
mv2+kx2是守恒的，式中v为质量m的振子运动的速度，x为振子相对平衡位置的位移。量子力学证明，在绝对零度时，谐振子的能量为hω，称为零点振动能，
，h为普朗克常量，
为振子的固有角频率。试计算在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用的惰性气体原子构成的体系的能量，与两个相距足够远的（可视为孤立的、没有范德瓦尔斯相互作用的）惰性气体原子的能量差，并从结果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。可利用当|x|<<1时的近似式
≈1+x－
x2，(1+x)-1≈1－x+x2。
解析：
两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量包括以下几部分：每个原子的负电中心振动的动能，每个原子的负电中心因受各自原子核“弹性力”作用的弹性势能，一个原子的正、负电荷与另一原子的正、负电荷的静电相互作用能.以
和
分别表示两个原子的负电中心振动速度，
和
分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，则体系的能量
(1)
式中U为静电相互作用能
(2)
为静电力常量．因
，
，
，利用
，可将(2)式化为
(3)
因此体系总能量可近似表为
(4)
注意到
和 
，可将(4)式改写为
(5)
式中，
， (6)
， (7)
， (8)
． (9)
(5)式表明体系的能量相当于两个独立谐振子的能量和，而这两个振子的固有角频率分别为
， (10)
. (11)
在绝对零度，零点能为
， (12)
两个孤立惰性气体原子在绝对零度的能量分别表示为
和
，有
， (13)
式中
(14)
为孤立振子的固有角频率．由此得绝对零度时，所考察的两个惰性气体原子组成的体系的能量与两个孤立惰性气体原子能量和的差为
． (15)
利用
，可得
． (16)
，表明范德瓦尔斯相互作用为相互吸引．
评分标准：本题20分。
(1)式1分，(2)式3分，(4)式3分，(10)、(11)式各4分， (12)式2分， (16)式2分，末句说明占1分。
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