Question

一弹性小球自h₀=5m高处自由落下，当它与水平地面每碰撞一次后，速度减小到碰前的

7

9

，不计每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经过的时间．

Answer 1

分析：小球自h₀=5m高处自由落下，求出第一次落地时的速度，由题得到第二、三、四…次落地的速度．第一次小球做自由落体运动，以后撞地后，小球做竖直上抛运动，由t=

2v0

g

求竖直上抛的时间，根据规律，由数学知识求解总时间．

解答：解：小球第一次落地时速度为
     v₀=

2gh0

=10m/s
由题小球第2，3，4…（n+1）次落地时速度分别为
   v₁=

7

9

v0
   v₂=(

7

9

)2v0
   v₃=(

7

9

)3v0
  …
  v_n=(

7

9

)nv0
小球第1下落时间为
  t₀=

2h0 g

=1s
小球从第1次与地面相撞到第2次与地面相撞经过的时间为
    t₁=

2v1

g

=

2× 7 9 v0

g

=2×

7

9

s
小球从第2次与地面相撞到第3次与地面相撞经过的时间为
    t2=

2v2

g

=2×(

7

9

)2s
小球从第3次与地面相撞到第4次与地面相撞经过的时间为
    t₃=

2v3

g

=2×(

7

9

)3s
     …
由数学归纳推理得
   小球从第n次与地面相撞到第（n+1）次与地面相撞经过的时间为
    t_n=2×(

7

9

)n
所以小球运动的总时间为
   t=t₁+t₂+t₃+…+t_n=1s+2×（（

7

9

）+（

7

9

）²+（

7

9

）³+…+（

7

9

）ⁿ）s
=1s+2×

7 9

1- 7 9

s=8s
答：小球从开始下落到停止运动所经过的时间是8s．

点评：本题应用数学归纳法解决物理的能力，这是高考考查的重要内容之一．