Question

13．如图所示，两个半径为R的四分之一圆弧构成的光滑细管道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线O₁O₂水平．轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为m的小球接触（不拴接，小球的直径略小于管道内径），开始时弹簧处于锁定状态，具有一定的弹性势能，重力加速度为g．解除锁定，小球离开弹簧后进入管道．
（1）若小球经C点时所受弹力大小为$\frac{3mg}{2}$，求弹簧锁定时具有的弹性势能E_p；
（2）若轨道内部粗糙，弹簧锁定时的弹性势能E_p不变，小球恰好能够到达C点，求小球克服轨道摩擦阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）先由牛顿第二定律求出小球经过C点时的速度，再根据能量守恒定律求解弹簧锁定时具有的弹性势能E_p；
（2）小球恰好能够到达C点时速度为零，由动能定理求出小球克服轨道摩擦阻力做的功．

解答 解：（1）在C点，以小球为研究对象，则有
  mg+$\frac{3}{2}mg$=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
对整个过程，根据能量守恒定律得
  E_p=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
联立解得 E_p=$\frac{13}{4}$mgR
（2）小球恰好能够到达C点时速度为零．
根据能量守恒得：
   E_p-W-2mgR=0
则得 小球克服轨道摩擦阻力做的功 W=E_p=$\frac{5}{4}$mgR
答：
（1）弹簧锁定时具有的弹性势能E_p为$\frac{13}{4}$mgR．
（2）小球克服轨道摩擦阻力做的功为$\frac{5}{4}$mgR．

点评 本题要分析清楚小球的运动状态，把握最高点的临界条件：管中小球最高点的临界速度为零，应用能量守恒定律、牛顿第二定律即可正确解题．