Question

9．一长木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物块，在木板右方有一墙壁，木板右端与墙壁的距离为4.5m，如图（a）所示，t=0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向右运动，直至t=1s时木板与墙壁碰撞（碰撞时间极短），碰撞前后木板速度大小不变，方向相反，运动过程中小物块始终未离开木板，已知碰撞后1s时间内小物块的v-t图线如图（b）所示，木板的质量是小物块质量的15倍，重力加速度大小g取10m/s²，求：木板最小长度和木板右端离墙壁最终距离．

Answer 1

分析 对碰前过程由牛顿第二定律时行分析，结合运动学公式可求得μ₁；再对碰后过程分析同理可求得μ₂，分别对木板和物块进行分析，由牛顿第二定律求解加速度，由运动学公式求解位移，则可求得相对位移，即可求得木板的长度；对木板和物块达相同静止后的过程进行分析，由牛顿第二定律及运动学公式联立可求得位移；则可求得木板最终的位置

解答 解：（1）设向右为正方向，木板与墙壁相碰前，小物块和木板一起向右做匀变速运动，加速度设为a₁，小物块和木板的质量分别为m和M，由牛顿第二定律有：
-μ₁（m+M）g=（m+M）a₁
由图可知，木板与墙壁碰前瞬时速度v₁=4m/s；
由运动学公式可得：v₁=v₀+a₁t₁
s₀=v₀t₁+$\frac{1}{2}$a₁t₁²；
式中t₁=1s，s₀=4.5m是木板碰间有的位移，v₀是小物块和木板开始运动时的速度．
联立以上各式解得：μ₁=0.1．
在木板与墙壁碰撞后，木板以-v1的初速度向左做匀变速运动，小物块以v1的初速度向右做匀变速运动．设小物块的加速度为a2，由牛顿第二定律有：
-μ₂mg=ma₂
由图可得：
a₂=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{{t}_{2}-{t}_{1}}$
t₂=2s，v₂=0；代入以上两式可得：
μ₂=0.4；
设碰撞后木板的加速度为a₃，经过时间△t，木板和小物块刚好具有共同速度v₃，由牛顿第二定律及运动学公式得：
μ₂mg+μ₁（M+m）g=Ma₃
v₃=-v₁+a₃△t
v₃=v₁+a₂△t
碰撞后至木板和小物块达到共同速度的过程中，木板运动的位移为：
s₁=$\frac{-{v}_{1}+{v}_{3}}{2}$△t
小物块的位移为：
s₂=$\frac{{v}_{1}+{v}_{3}}{2}$△t
小物块相对于木板的位移为：
△s=s₂-s₁
由以上各式解得：△s=6.0m；
因为运动过程中，小物块没有脱离木板，所以木板的最小长度应为6.0m；
（2）在小物块和木板具有共同速度后，两者向左做匀变速运动直至停止，设加速度为a₄，此过程中小物块和木板运动的位移为s₃，由牛顿第二定律及运动学公式可得；
μ₁（m+M）g=（m+M）a₄
0-v²₃=2a₄s₃
碰后木板运动的位移为s=s₁+s₃
解得：s=-6.5m；
答：（1）木块的最小长度为6.0m
（2）木板右端离墙壁的最终距离为6.5m

点评 本题考查牛顿第二定律及运动学公式的应用，涉及两个物体多个过程，题目中问题较多，但只要认真分析，一步步进行解析，是完全可以求解的