Question

19．在足够高的光滑水平台面上静置一质量为m的木板A，在木板的右端静置一质量为4m可视为质点的小物体B，A、B间的滑动摩擦系数μ=0.25，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力．离A右端足够远的平台边缘有一光滑定滑轮，用不可伸长的轻绳绕过定滑轮连接A和质量也为m的物体C，现由静止释放C，当它自由下落L时轻绳绷紧．当B与A相对静止时刚好到达A的左端．若重力加速度为g，不计空气阻力，不考虑A与滑轮碰撞及之后的情形．
（1）求轻绳绷紧后瞬间物体C的速度大小；
（2）求木板A的长度；
（3）若物体B带有一定量的正电，其电荷量恒为q，轻绳刚绷紧的瞬间在空间加一水平向右的匀强电场，在保证物体B能滑离木板A的情况下求A、B间摩擦生热的最大极限值．

Answer 1

分析 （1）C自由释放到轻绳绷紧前瞬间机械能守恒，据机械能守恒定律求出此瞬间C的速度．绳绷紧前、后瞬间A、C组成的系统，内力远大于外力，系统的动量守恒．根据动量守恒定律可求出绳绷紧后瞬间物体C的速度大小．
（2）绳绷紧后，根据牛顿第二定律对AC系统列式，可知AC向右匀速运动．B向右匀加速运动，根据牛顿第二定律求得B的加速度．由公式v=at求出从绳绷紧至二者共速所经过的时间，再由运动学公式求出二者相对位移大小，即为木板A的长度．
（3）摩擦生热等于滑动摩擦力大小与相对位移大小的乘积，当相对位移最大时，摩擦生热达到最大极限值．A、B共速后能使B相对A向右运动的最小电场对应最大的产热．根据牛顿第二定律和运动学公式求出最大相对位移，即可求解．

解答 解：（1）自由释放C至轻绳绷紧前瞬间，由机械能守恒，得：
   mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，v₀=$\sqrt{2gL}$
绳绷紧前、后瞬间A、C组成的系统，内力远大于外力，系统的动量守恒，则有：mv₀=2mv，
得 v=$\frac{1}{2}\sqrt{2gL}$
（2）绳绷紧后，对A和C系统有：mg-4μmg=2ma₁，μ=0.25
可得 a₁=0，二者匀速运动
对B，有 4μmg=4ma₂，得 a₂=0.25g，匀加速运动．
从绳绷紧至二者共速 a₂t=v，t=$\frac{v}{{a}_{2}}$=2$\sqrt{\frac{2L}{g}}$
A板的长度即为二者相对位移大小，L_A=x_A-x_B=vt-$\frac{v}{2}t$=L
（3）经分析，A、B共速后能使B相对A向右运动的最小电场对应最大的产热．临界情形下，B与A加速度相同，且二者之间的摩擦力为最大静摩擦力
对B：qE-4μmg=4ma
对AC：mg+4μmg=2ma
得a=g，E=$\frac{5mg}{q}$
绳绷紧至A、B共速前，A仍v匀速运动，对B
  qE+4μmg=4ma₂′
  a₂′t′=v
二者相对位移△x=vt′-$\frac{v}{2}t′$=$\frac{L}{6}$
之后，B又从A的右端滑出，所以全程摩擦产热 Q_max=4μmg•△x=$\frac{1}{3}$mgL
答：
（1）轻绳绷紧后瞬间物体C的速度大小是$\frac{1}{2}\sqrt{2gL}$；
（2）木板A的长度为L；
（3）A、B间摩擦生热的最大极限值是$\frac{1}{3}$mgL．

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，把握每个过程的规律，运用机械能守恒定律、动量守恒定律、牛顿第二定律和运动学公式结合进行处理．注意研究对象的选择．