Question

17．如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，外圆光滑，内圆粗糙，一质量为m的小球从轨道的最低点以初速度v₀向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径为R，不计空气阻力，重力加速度为g．
（1）判断小球在运动过程中机械能是否守恒，并简要说明原因．
（2）若使小球始终做完整的圆周运动，则v₀的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒的条件，通过小球是否与内壁接触，判断机械能是否守恒．
（2）小球始终做完整的圆周运动，可知小球与轨道间没有摩擦，根据牛顿第二定律求出最高点的最小速度，结合动能定理求出初速度的最小值．

解答 解：（1）若小球运动过程中速度较大，不与轨道内壁接触，则机械能守恒．
若小球运动过程中速度较小，与轨道内壁接触，由于摩擦力做功，则机械能不守恒．
（2）若使小球始终做完整的圆周运动，可知小球与轨道间没有摩擦，
在最高点，根据$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{gR}$，
根据动能定理得，$-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得v₀的最小值${v}_{0}=\sqrt{5gR}$．
答：（1）若小球运动过程中速度较大，不与轨道内壁接触，则机械能守恒．若小球运动过程中速度较小，与轨道内壁接触，由于摩擦力做功，则机械能不守恒．
（2）若使小球始终做完整的圆周运动，则v₀的最小值是$\sqrt{5gR}$．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律的综合运用，知道最高点的临界情况，结合动能定理、牛顿第二定律综合求解，难度不大．