Question

13．如图1所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数为k=46N/m的弹簧，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接质量为m=1kg的小物块A，物块与盘间的动摩擦因数为μ=0.2，开始时弹簧未发生形变，长度为l₀=0.5m，若最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度g=10m/s²，物块A始终与圆盘一起转动．则：

（1）圆盘的角速度多大时，物块A将开始滑动？
（2）当角速度缓慢地增加到4rad/s时，弹簧的伸长量是多少？（弹簧伸长在弹性限度内且物块未脱离圆盘）．
（3）在角速度从零缓慢地增加到4rad/s过程中，物块与盘间摩擦力大小为f，试通过计算在坐标系中如图2作出f-ω²图象．

Answer 1

分析 （1）物块开始滑动时，最大静摩擦力提供向心力，列式即可求得此时的加速度．
（2）分析此时受到的力，在水平方向上受摩擦力和弹簧的弹力，其合力提供向心力，设出弹簧的伸长量，列式即可求得弹簧的伸长量，
（3）分段分析物块滑动前摩擦力的表达式和滑动后摩擦力的表达式，即可得知f-ω²图象．

解答 解：（1）设盘的角速度为ω₀时，物块A将开始滑动，此时物块的最大静摩擦力提供向心力，则有：
μmg=m${ω}_{0}^{2}{l}_{0}$
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{μg}{{l}_{0}}}$=$\sqrt{\frac{0.2×10}{0.5}}$=2rad/s
（2）设此时弹簧的伸长量为△x，物块受到的摩擦力和弹簧的弹力的合力提供向心力，则有：
μmg+k△x=mω²（l₀+△x）
代入数据解得：△x=0.2m
（3）在角速度从零缓慢地增加到2rad/s过程中，物块与盘间摩擦力为静摩擦力f=m${ω}_{0}^{2}{l}_{0}$，f∝ω²，f随着角速度平方的增加而增大；
当ω＞2rad/s时，物块与盘间摩擦力为滑动摩擦力为定值，为f=μmg=2N
答：（1）圆盘的角速度为2rad/s时，物块A将开始滑动．
（2）当角速度缓慢地增加到4rad/s时，弹簧的伸长量是0.2m．
（3）在角速度从零缓慢地增加到4rad/s过程中，f-ω²图象如图所示．

点评 当物体相对于接触物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大，这是经常用到的临界条件．本题关键是正确分析物体的受力情况．同时要明确向心力是沿半径方向上的所有力的合力．