Question

2．如图所示，长为L的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳子与竖直线夹角为60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上．问：
（1）当球以ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$作圆锥摆运动时，绳子张力T及桌面受到压力N为多大？
（2）当球以ω=$\sqrt{\frac{3g}{l}}$作圆锥摆运动时，绳子张力T及桌面受到压力N各为多大？

Answer 1

分析 （1）当球做圆锥摆运动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，采用正交分解法列方程求解绳子的张力和支持力，再由牛顿第三定律求出桌面受到的压力．
（2）当小球对桌面恰好无压力时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解此时小球的角速度．根据角速度ω=$\sqrt{\frac{3g}{l}}$与临界角速度的关系，判断小球是否离开桌面．若小球桌面做圆周运动，再由牛顿第二定律求解绳子的张力

解答 解：（1）对小球受力分析，作出力图如图1．根据牛顿第二定律，得：
Tsin60°=mω²Lsin60°…①
mg=N+Tcos60°…②
又ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$
解得：T=mg，N=$\frac{1}{2}mg$
（2）设小球对桌面恰好无压力时角速度为ω₀，即N=0
代入①②得：ω₀=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$
由于ω=$\sqrt{\frac{3g}{l}}$＞ω₀，故小球离开桌面做匀速圆周运动，则N=0此时小球的受力如图2．设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有：
mgtanθ=mω²•Lsinθ…③
mg=Tcosθ…④
联立解得：T=3mg
答：（1）当球以ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$做圆锥摆运动时，绳子张力T=mg，桌面受到压力N=$\frac{1}{2}mg$；
（2）当球以角速度ω=$\sqrt{\frac{3g}{l}}$做圆锥摆运动时，绳子的张力为3mg，桌面受到的压力为零．

点评 本题是圆锥摆问题，分析受力，确定向心力来源是关键，实质是牛顿第二定律的特殊应，难度适中．