Question

4．房顶正在修葺，房顶上固定的一根细线垂到三楼窗沿下，某同学为了测量窗的上沿到房顶的高度，将线的下端系了一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，然后打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内摆动，如图所示．
①为了测小球的周期，他用手表测量，在小球达到屋外的最高点时数1，同时开始计时，随后每次到达屋外最高点依次数2、3、4、…数到n时，记下时间为t，于是得出周期为T=$\frac{t}{n}$；②他用尺子测出了小球静止时小球球心到窗上沿的距离L，则：
（l）在①中正确的做法应该是C
A．计数位置应在小球运动的最低点，若第一次至第n次同向经过最低点时间为t，则T=$\frac{t}{n}$
B．计数位置应在最高点，若第一次至第n 次到达最高点时间为t，则T=$\frac{t}{（n-l）}$
C．计数位置应在小球运动的最低点，若第一次至第n次同向经过最低点时间为t，则T=$\frac{t}{（n-l）}$）
D．计数位置应在小球运动的最低点，若第一次至第n次同向经过最低点时间为t，则T=$\frac{2t}{（n-l）}$
（2）用周期T及在最低点球心到窗上沿的距离L，及当地重力加速度g，表示房顶到窗上沿的高度h=$\frac{g{T}^{2}-2πT\sqrt{gl}}{{π}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）单摆在摆角较小时（小于5°）可看成简谐运动；在最低点速度最大，一般从此时开始计时误差最小；计数开始时，一般都是从0开始，该同学从1开始计数，计数结束时，摆球完成的全振动的次数：N=n-1
（2）根据T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$，两次测量列方程组求解．该复合摆的周期是小摆（L）的半个周期与大摆的半个周期的和．

解答 解：（1）单摆在摆角较小时（小于5°）可看成简谐运动；在最低点速度最大，一般从此时开始计时误差最小；计数开始时，一般都是从0开始，该同学从1开始计数，计数结束时，摆球完成的全振动的次数：N=n-1，则T=$\frac{t}{n-1}$，故正确的做法是C．
（2）小摆（L）的周期：T₁=2π$\sqrt{\frac{l}{g}}$
大摆的周期：T₂=2π$\sqrt{\frac{l+h}{g}}$
而T=$\frac{{T}_{1}}{2}$+$\frac{{T}_{2}}{2}$
联立以上各式，解得：h=$\frac{g{T}^{2}-2πT\sqrt{gl}}{{π}^{2}}$
故答案为：（l） C；（2）$\frac{g{T}^{2}-2πT\sqrt{gl}}{{π}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握单摆的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$，会用单摆的周期公式测量摆线的长度．