Question

15．如图所示，质量为m的小球由光滑斜轨道由静止下滑后，接着又在一个与斜轨道相连的竖直的光滑圆环内侧运动．圆环的半径为R，重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）小球应从多高的地方滑下，才能使小球到达圆环顶端时对轨道的压力等于mg；
（2）在满足（1）的情况下，小球到达圆环底端时，作用于环底的压力；
（3）小球初始高度h满足什么条件，小球在运动过程中不会脱离轨道．

Answer 1

分析 （1）小球到达圆环顶端时，由合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球通过C点时的速度，再由机械能守恒定律求出开始时的高度．
（2）根据机械守恒定律可求出小球通过最低点时的速度大小，再根据牛顿第二定律求出小球到达圆环底端时，环底对小球的支持力，再得到小球对环底的压力．
（3）小球在运动过程中不会脱离轨道有两种情况：一种在圆心下方运动．另一种能通过最高点，根据临界条件和机械能守恒定律结合求解．

解答 解：（1）小球到达圆环顶端时，根据牛顿第二定律有 N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
又 N=mg
从开始到圆环顶端的过程，由机械能守恒定律有 mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
联立解得 h=3R
（2）从开始到圆环底端的过程，由机械能守恒定律有 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在底端，对小球，根据牛顿第二定律有 N_C-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立解得 N_C=7mg
由牛顿第三定律知小球到达圆环底端时，作用于环底的压力 N_C′N_C=7mg
（3）小球恰好运动到圆心等高处时，由机械能守恒有 mgh′=mgR，得 h′=R．
小球恰好运动到圆环顶端时，有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
从开始到圆环顶端的过程，由机械能守恒定律有 mg（h″-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 h″=2.5R
所以小球初始高度h满足：h≤R或h≥2.5R时，小球在运动过程中不会脱离轨道．
答：
（1）小球应从3R高的地方滑下，才能使小球到达圆环顶端时对轨道的压力等于mg．
（ 2）小球到达圆环底端时，作用于环底的压力是7mg．
（3）小球初始高度h满足：h≤R或h≥2.5R时，小球在运动过程中不会脱离轨道．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律及牛顿第二定律的直接应用，要求同学们能正确选取运动过程，把握隐含的临界条件，运用机械能守恒定律求解．